¿Cuál es la prueba de la siguiente fórmula: Si f(x/y) = Constt., entonces dy/dx = y/x?

Question

Esta fórmula (truco) se da directamente en mi material de estudio. He intentado demostrarlo pero se está volviendo demasiado largo. Por favor ayúdame dando la prueba de esta condición, es decir, fórmula. Gracias de antemano.

Answer 1

Si $y$ es una función de $x$, entonces al diferenciar con respecto a $x$ se tiene $$f'(y/x)\left(\frac{dy}{dx}\frac{1}{x}-\frac{y}{x^{2}}\right)=0$$ Entonces, si $f'(y/x) \ne 0$, $$\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}$$

Answer 2

Si $f\left(\dfrac x y\right)$ es constante, entonces $\dfrac x y$ es constante (o es cualquiera de varias constantes en la preimagen bajo $f$ del valor constante de $f(x/y)$.