¿Cuál es el significado habitual de tener el símbolo $\hat{}$ (es decir, un sombrero) sobre un nombre de vector? ¿Qué hacen los vectores denotados por $\hat{\mathbf{u}}$ suele representar?
Por ejemplo, en este video a las 3:00, el autor denota un vector unitario por $\hat{\mathbf{u}}$ pero no entiendo por qué no denotar simplemente por $\mathbf{u}$ . ¿Cuál es la diferencia entre $\mathbf{u}$ y $\hat{\mathbf{u}}$ ?
En el vídeo, en ese mismo momento, el orador explica que está utilizando esa notación para señalar $\hat{u}$ es un vector unitario, es decir, un vector de norma $1$ .
Este tipo de anotaciones (una vez explicadas) ayuda a recordar cuáles son las propiedades específicas de las cantidades utilizadas en una prueba. (Basta con mirar $\hat{u}$ , sabes que es una unidad).
En álgebra lineal, el $\hat{}$ se utiliza ampliamente para vectores unitarios Por lo tanto, se trata de una convención general, al menos en una buena parte del mundo.
Cuando $u$ es una expresión de objeto matemático como $\bar u$ , $\hat u$ , $\breve u$ , $u'$ , etc. suelen denotar nuevo objetos derivados de $u$ o relacionados con $u$ , de alguna manera, por ejemplo, $$\breve f(x):=f(-x)\qquad(x\in{\mathbb R})\ ,$$ cuyo significado exacto no es una norma ISO, sino que se explica en el contexto. La sobrebarra puede denotar el conjugado complejo, en otras circunstancias un valor medio, o nuevas funciones de coordenadas $(\bar x_1,\ldots,\bar x_n)$ sustituyendo el presente $(x_1,\ldots,x_n)$ .
Por el contrario, la notación $\vec{u}$ sólo indica al lector que el objeto $u$ es un vector . En una época en la que el número de fuentes utilizables es ilimitado se puede escribir ${\bf u}$ desde el principio, si se quiere que la distinción entre escalares y vectores sea visible a primera vista. Pero $u=(u_1,\ldots,u_n)$ está perfectamente bien.
Teniendo en cuenta todo esto, la notación $\hat a$ lleva a las siguientes interpretaciones: Puede significar (i) "Ahora introduzco el vector $\hat a$ que se supone es un vector unitario", o (ii) "Dado cualquier vector $a\ne0$ el vector $\hat a$ se define por $$\hat a:={a\over\|a\|}\ .{\rm"}$$
Si $\pmb u\in\Bbb R^n$ es cualquier vector no nulo, entonces $$\hat{\pmb u}:=\frac{\pmb u}{\|\pmb u\|},$$ donde $\|\cdot\|$ denota la norma euclidiana: $$\|\pmb u\|=\|(u_1,...,u_n)\|:=(u_1^2+\cdots+u_n^2)^\frac12.$$
Como ejemplo, tomemos $n=3$ y $\pmb u=(4,0,3).$ Entonces $\|\pmb u\|=\sqrt{4^2+0^2+3^2}$ y $\hat{\pmb u}=(0.8,0,0.6).$
En el vídeo que has enlazado $\hat{u}$ representa el vector unitario. Muchas veces verás los vectores unitarios en el $x,y,z$ dirección escrita así. $$\hat{i}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\hat{j}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\hat{k}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$$
Tenga en cuenta que esto es sólo una convención. Aquí en Alemania los vectores unitarios se escriben así:
$$e_x, e_y,e_z\space \space \text{or} \space \space e_1,e_2,e_3 \space \space \text{or} \space \space \hat{e}_1,\hat{e}_2,\hat{e}_3$$
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