Mostrar los términos de una secuencia $u_n$ es $0$ .

Question

Dado $u_n=\sum_{k=1}^{\infty} u_{n+k}^2$ y $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ convergen. Mostrar $u_k=0 \forall k \in \mathbb{N}$ .

Observación:Esta secuencia no es creciente ya que $u_n-u_{n+1}=u_{n+1}^2\geq0$ .

Está delimitado por $0$ .

Si podemos mostrar $u_n=u_{n+1}$ hemos terminado.

¡Ayuda!

Answer 1

Tenga en cuenta que $u_n=u_{n+1}+u_{n+1}^2$ . Por lo tanto, si para algunos $N$ , $u_N=0$ hemos terminado. Ahora suponemos que $u$ es positivo. Por lo tanto, es decreciente y converge a algún $l \geq 0$ tal que $l=l+l^2$ así $l=0$ .

Ahora, dejemos que $a < 0$ sea un número real, entonces $u_{n+1}^a-u_n^a=u_{n+1}^a(1-(1+u_{n+1})^a)\sim -au_{n+1}^{a+1}$ .

Tome $a=-1$ entonces $u_{n+1}^a-u_n^a \rightarrow 1$ Por lo tanto $u_n \sim 1/n$ y $\sum_n {u_n}=\infty$ una contradicción.