Acción topológicamente transitiva sobre un grupo topológico compacto metrizable

Question

Estoy tratando de resolver el siguiente problema: Sea $G$ sea un grupo topológico compacto metrizable. Supongamos que para algún $g_0 \in G$ la traducción $L_{g_0}$ definido por $L_{g_0}g=g_0 g$ es topológicamente transitivo. Entonces $G$ es un grupo abeliano.

Sé que desde $L_{g_0}$ es topológicamente transitiva, también es mínima. Esperaba demostrar que el conmutador de dos elementos es la identidad y también quería incorporar la metrizabilidad y la compacidad del espacio de alguna manera, pero no llegué demasiado lejos.

Merci

Answer 1

Pistas:

1. La minimización significa que cada $L_{g_0}$ -La órbita es densa, en particular la órbita de la identidad es densa.
2. La órbita de la identidad es sólo las potencias de $g_0$ .
3. Todos los poderes de $g_0$ de viaje.
4. La multiplicación es continua y se pueden aproximar dos elementos cualesquiera del grupo con potencias de $g_0$ .