Demostrando esta función diferenciable $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ es uniformemente continua

Question

Dejemos que $f: \mathbb{R}^+ \mapsto \mathbb{R}$ sea una función diferenciable tal que $\lim_{x \to \infty} f'(x) = 1.$ Demostrar que $f$ es uniformemente continua en $\mathbb{R}^+$ .

Intento: Tenemos que demostrar que $$\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x, y \in \mathbb{R}^+: |x-y| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(y)| < \epsilon. $$

Creo que casi he encontrado toda la prueba, excepto el último caso que todavía me molesta. Agradecería cualquier comentario y/o ayuda.

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Desde $\lim_{x \to \infty} f'(x) = 1$ existe un $N > 0$ tal que para todo $x \in \mathbb{R}^+$ con $x > N$ tenemos que $$| f'(x) - 1 | < 1 $$ o $0 < f'(x) < 2. $ Consideremos ahora el intervalo $[0, N]$ . La restricción de $f$ a este intervalo es una función uniformemente continua, ya que $f$ es entonces una función continua definida en un intervalo cerrado y acotado. Sea $\epsilon > 0$ sea arbitraria. Sea $\delta = \epsilon/2$ . Entonces $\forall x,y \in [0, N]$ con $|x-y| < \delta$ tenemos que $$|f(x) - f(y)| < \epsilon.$$ Ahora tenemos que mostrar lo mismo $\delta > 0$ "funciona" para todos $x, y \in \mathbb{R}^+$ . Así que dejemos $x, y \in \mathbb{R}^+$ sea arbitraria.

• Caso 1: si $x,y \in [0, N]$ hemos terminado.
• Caso 2: Supongamos que $x,y > N$ . Supongamos que $|x - y | < \delta$ y asumir, sin pérdida de generalidad, que $y < x$ . Entonces el teorema de Lagrange dice que existe un $c \in (y,x)$ tal que $$f'(c) = \frac{f(x) - f(y)}{x-y}. $$ Desde $c > N$ tenemos $f'(c) < 2. $ También $x \neq y$ . Por lo tanto, $$ | f(x) - f(y)| = |f'(c)| | x-y| < 2\delta = \epsilon. $$
• Caso 3: Supongamos ahora que $y \in [0, N]$ y que $x > N$ (o el caso simétrico en el que $x \in [0,N]$ y $y > N)$ . Supongamos que $|x - y| = x - y < \delta$ . Entonces también tenemos $x - N < x - y < \delta$ desde $N > y$ . La función continua $f$ está acotado en $[0,N]$ . Por lo tanto, existe un $M > 0$ tal que $\forall y \in [0,N]$ tenemos $|f(y)| \leq M$ . Consideremos ahora el intervalo $[N,x]$ . De nuevo podemos encontrar un $d \in (N,x)$ tal que $$f'(d) = \frac{f(x) - f(N)}{x-N}. $$ Entonces se deduce ahora que $$|f(x) - f(y)| \leq |f(x)| + |f(y)| < | f'(d)| | x - N | + |f(N)| \\ < 2 | x - y | + M < 2\delta + M. $$

No sé cómo hacer este último caso correctamente, para conseguir el deseado $|f(x) - f(y)| < \epsilon. $ ¿Realmente tengo que volver a usar Lagrange (como hice), o alguien ve una forma mejor y más bonita de demostrar el último caso?

Answer 1

Vale, hay un problema menor aquí. Normalmente la notación $\mathbb{R}^{+}$ se utiliza para denotar el conjunto de números reales positivos, es decir $(0, \infty)$ . Entonces la función $f(x) = x + (1/x)$ proporciona un contraejemplo a la afirmación.

De los argumentos dados por el OP en su pregunta se desprende que la intención es tratar $[0, \infty)$ y no $(0, \infty)$ y lo mismo se hará en la respuesta siguiente. Y en aras de la claridad menciono lo que hay que demostrar.

Si $f: [0, \infty) \to \mathbb{R}$ es una función diferenciable con $\lim_{x \to \infty}f'(x) = 1$ entonces $f$ es uniformemente continua en $[0, \infty)$ .

La idea es sencilla y funciona de forma más general cuando $\lim_{x \to \infty}f'(x) = L$ existe y no necesitamos $L$ sea necesariamente igual a $1$ . Desde $f'(x) \to L$ como $x \to \infty$ se deduce que hay un número $N > 0$ tal que $$|f'(x) - L| < 1$$ para todos $x > N$ . Así, $f'(x)$ está acotado en $[N, \infty)$ y que $|f'(x)| < K$ para todos $x \in [N, \infty)$ y algún número $K$ . Esta es la parte que se necesita para demostrar la continuidad uniforme. La existencia del límite de $f'(x)$ es sólo una forma de garantizar que $f'(x)$ está acotado para grandes $x$ .

Dejemos que $\epsilon > 0$ se le dará. Ahora $f$ es continua en $[0, N]$ y por lo tanto es uniformemente continua en $[0, N]$ . Por lo tanto, hay $\delta_{1} > 0$ de manera que si $x, y \in [0, N]$ y $|x - y| < \delta_{1}$ entonces $$|f(x) - f(y)| < \frac{\epsilon}{2} < \epsilon$$ Siguiente si $x, y \in [N, \infty)$ entonces $$|f(x) - f(y)| = |f'(\xi)||x - y| < K|x - y|$$ mediante el Teorema del Valor Medio. Sea $\delta_{2} = \epsilon/2K$ y si $x, y \in [N, \infty)$ con $|x - y| < \delta_{2}$ entonces $$|f(x) - f(y)| < \frac{\epsilon}{2} < \epsilon$$ OP está manejando estos dos casos perfectamente bien en su post y el problema se da en el manejo del caso cuando uno de los puntos $x \in [0, N]$ y otro punto $y \in [N, \infty)$ . No es difícil y se basa en sumar y restar $f(N)$ a la diferencia $f(x) - f(y)$ .

Ahora dejemos que $x, y$ sea tal que $x \in [0, N]$ y $y \in [N, \infty)$ . Y que $$|x - y| < \delta = \min(\delta_{1}, \delta_{2})$$ Desde $N \in [x, y]$ se deduce que $$|x - N| \leq |x - y| < \delta_{1}, |N - y| \leq |x - y| < \delta_{2}$$ Entonces \begin{align} |f(x) - f(y)| &= |f(x) - f(N) + f(N) - f(y)|\notag\\ &\leq |f(x) - f(N)| + |f(N) - f(y)|\notag\\ &< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}\notag\\ &= \epsilon\notag \end{align} Así, hemos encontrado un $\delta > 0$ de manera que si $x, y \in [0, \infty)$ con $|x - y| < \delta$ entonces $|f(x) - f(y)| < \epsilon$ . Por lo tanto, $f$ es uniformemente continua en $[0, \infty)$ .

Answer 2

Dejemos que $\epsilon>0$ . Hay $\delta_1$ tal que para todo $x,y \in [0,N]$ , $|x-y|<\delta_1 \implies |f(x)-f(y)|<\frac{\epsilon}{2}$ y hay $\delta_2$ tal que para todo $x,y \in [N,+\infty[$ , $|x-y|<\delta_2 \implies |f(x)-f(y)|<\frac{\epsilon}{2}$
Dejemos que $x,y$ tal que $|x-y|<\min(\delta_1,\delta_2)$ .

Si $x,y$ son como en el caso 1 y 2 entonces $|f(x)-f(y)|< \frac{\epsilon}{2}<\epsilon$ .

Para el caso 3: $x \in [0,N]$ y $y \in [N,+\infty[$ :
$|f(x)-f(y)| < |f(x)-f(N)| + |f(N)-f(y)| < \frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$ (porque $|x-N|<\delta_1$ y $|y-N|<\delta_2$ ).

Por lo tanto, $f$ es uniformemente continua en $\mathbb{R}_+$ .

Answer 3

Su párrafo

"Ahora considera el intervalo $[0,N]$ La restricción de $f$ a este es una función uniformemente continua, ya que $f$ es entonces un función continua definida en un intervalo cerrado y acotado. \ldots "

comienza correctamente (hasta este punto). A continuación, escribe:

Dejemos que $\epsilon > 0$ sea arbitraria. Sea $\delta = \epsilon/2$ . Entonces $\forall x,y \in [0,N]$ con $|x−y|<\delta$ tenemos que $|f(x)−f(y)|<\epsilon$ ."

Esta última frase es errónea. Tienes que volver a examinar la definición de continuidad uniforme.

Es decir: el problema en su prueba es muy anterior a la ubicación que identificó.