¿Qué es una serie de Fourier? ¿Para qué se utiliza?
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lillq
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La serie de Fourier:
\$ V_t = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}[a_i sin(i \omega_0 t) + b_i cos(i \omega_0 t) ] \$
El término \$\dfrac{a_0}{2}\$ es una constante, es el nivel de CC. También podría haberse escrito sin dividir por dos, pero esta es la convención. Los términos de la suma infinita son la suma de un seno ponderado y un coseno ponderado con la misma frecuencia. Si los dibujamos como fasores en el plano complejo de Argand, veremos que el resultado es de nuevo un seno, pero con una amplitud diferente, y desfasado. Por lo tanto, la ecuación también se puede escribir como
\$ V_t = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}[a_i sin(i \omega_0 t + \phi_i) ] \$
Así que tenemos la suma de los senos, todas las frecuencias múltiples de una frecuencia fundamental \$\omega_0\$ Cada uno de ellos con su propia amplitud y fase.
Fourier demostró que se puede describir toda función repetitiva de esta manera. A veces la serie es infinita, a veces tiene un número finito de términos. A veces faltan términos, lo que significa que su amplitud es cero.
Una de las series de Fourier más conocidas es la de una onda cuadrada:
\$ V_t = \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\left[\dfrac{sin((2i - 1) \omega_0 t)}{2i - 1} \right] \$
o, ampliado:
\$ V_t = sin(\omega_0 t) + \dfrac{1}{3} sin(3 \omega_0 t) + \dfrac{1}{5} sin(5 \omega_0 t) + \dfrac{1}{7} sin(7 \omega_0 t) + ...\$
Se trata, pues, de una serie con términos ausentes: una onda cuadrada no tiene armónicos pares. La siguiente imagen muestra su aspecto en el dominio del tiempo:
El dibujo superior muestra la suma de los dos primeros términos, luego un tercero y en la parte inferior se añade un cuarto término. Cada término añadido hará que la forma de onda se acerque más a una onda cuadrada, y necesitará que el límite de la serie sea infinito para obtener una onda cuadrada perfecta.
A veces es difícil ver el seno fundamental en él. Tomemos, por ejemplo, la suma de un seno de 3Hz y otro de 4Hz. La forma de onda resultante se repetirá una vez cada segundo, es decir, 1Hz. El 1Hz es la fundamental, aunque su amplitud sea cero. La serie puede escribirse como
\$ V_t = 0 \cdot sin(\omega_0 t) + 0 \cdot sin(2 \omega_0 t) + sin(3 \omega_0 t) + sin(4 \omega_0 t)\$
Todos los términos siguientes también tienen amplitud cero.
tenfour
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Toda señal analógica realizable, cualquier cosa que se te ocurra o que puedas dibujar legítimamente en un gráfico de tensión vs. tiempo, puede expresarse en términos matemáticos como la suma de un número infinito de ondas sinusoidales de diferentes frecuencias, algo así:
any_signal(t) = A*sin(f1*t) + B*sin(f2*t) + C*sin(f3*t) ....
Las diferentes señales se construyen cambiando los valores de A , B , C etc. y f1 , f2 y otros.
Cuando alguien se refiere a una serie de Fourier se refiere a expresar la forma de onda como una serie de operaciones de adición como la anterior.
Siendo realistas, toda señal analógica tiene ALGÚN contenido en cada frecuencia, incluso si la amplitud es de 0,1e-67, sigue estando ahí. Idealmente esto no es así - si construyo una onda cuadrada pura entonces sé con certeza que consiste SOLO en frecuencias que son un múltiplo impar de su período. Así, una onda cuadrada de 1Hz es la suma de una onda sinusoidal de 1Hz más una onda sinusoidal de 3Hz y así sucesivamente. Para otras formas de onda bien conocidas como las ondas triangulares, y las rampas la gente ha hecho los cálculos en cuanto a qué frecuencias están presentes y en qué contenido.
James Antill
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La serie de Fourier es un medio de expresar una forma de onda periódica como la suma (posiblemente infinita) de formas de onda sinusoidales "armónicas".
También se utiliza para expresar una señal en un intervalo de tiempo acotado (compacto) como la suma infinita de formas de onda sinusoidales.
Esencialmente, al establecer la relación entre una señal en el dominio del tiempo (es decir, una señal expresada en función del tiempo) y una señal equivalente en el dominio de la frecuencia (es decir, la señal expresada en función de la frecuencia), la serie de Fourier permite el análisis armónico de las señales y los sistemas, que es la base de la teoría de la transmisión de radio, la teoría de la codificación, la teoría del control, la teoría cuántica y muchas otras áreas muy útiles de la ingeniería.
Aunque las expresiones en serie de Fourier de las señales parecen más complicadas a primera vista, ya que implican expresiones complejas y "sumas infinitas", como herramienta matemática permiten a los ingenieros resolver problemas que no pueden resolverse con expresiones de forma cerrada.
En pocas palabras, a veces es útil expresar la variación en el espacio y/o el tiempo como una variación en la frecuencia y la fase. Sobre todo en el caso de las variaciones periódicas. Pero incluso cuando la variación no es periódica, siempre que la variación esté confinada a algún intervalo en el espacio y/o el tiempo, también estará confinada a un intervalo correspondiente (ancho de banda) en la frecuencia.
La aplicación de las series de Fourier ha sido fundamental para comprender el ancho de banda de los canales de los sistemas de comunicaciones, desarrollar algoritmos de compresión de imágenes y mejorar la fiabilidad de los sistemas de distribución de energía eléctrica.
vigo
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Para añadir algo de practicidad a los comentarios anteriores, las series de Fourier en el dominio del tiempo pueden descomponerse en sus componentes en el dominio de la frecuencia mediante algoritmos como la FFT (Transformada rápida de Fourier) y la DFT (Transformada discreta de Fourier). Un resultado práctico importante de poder aplicar los algoritmos es que en I+D y en las pruebas de laboratorio, a menudo queremos medir la pureza espectral de las señales frente a un suelo de ruido (por ejemplo, la SNR o el rango dinámico libre de espurios) para ver cómo de puro o, a menudo, sin distorsión, es el contenido de nuestra señal. Si tenemos una salida en el dominio del tiempo (como la que procesaría un convertidor DA), no podemos determinar estos valores sólo mirando la respuesta en el dominio del tiempo, por lo que a menudo, en el lado de la simulación, utilizaremos un módulo DFT para transformar la señal en el dominio del tiempo en el dominio espectral (frecuencia). En el laboratorio, en un osciloscopio, necesitamos tener alguna herramienta que pueda observar las propiedades espectrales (normalmente utilizamos analizadores de espectro). El corazón de estas herramientas depende del análisis de Fourier y de los métodos de descomposición espectral. Así que ahí tienes una razón práctica de por qué el análisis de Fourier es importante en EE.
