Convergencia débil $\iff$ convergencia fuerte en un espacio de dimensión finita

Question

Busco una prueba de la siguiente reclamación.

Convergencia débil $\implies$ convergencia fuerte en un espacio lineal normado de dimensión finita.

Gracias.

Answer 1

Esto es sólo una elaboración de lo que otros ya han dicho en los comentarios. Dejemos que $V$ sea un espacio lineal normado de dimensión finita (sobre un subcampo $\mathbb F$ de $\mathbb C$ ). Como dices, todas las normas en un espacio vectorial de dimensión finita son equivalentes, así que podemos suponer que tenemos la norma 2 habitual en $\mathbb C^n$ . La definición de convergencia débil es

Definición. Si $(v_j)_{j=1}^\infty$ es una secuencia de vectores en $V$ decimos que $v_j$ converge débilmente a $v$ es decir, $v_j \rightharpoonup v$ si $\ell(v_j) \to \ell(v)$ en $\mathbb F$ para todos los mapas lineales $\ell : V \to \mathbb F$ es decir, $\ell \in V^*$ , donde $V^*$ es el espacio dual de $V$ .

Utilizamos el siguiente teorema para demostrar que la convergencia débil implica la convergencia fuerte. (Como su nombre indica, la convergencia fuerte implica la convergencia débil, que es un resultado estándar).

Teorema. Los funcionales $(e_i^*)_{i=1}^n$ dado por $e_i^*(a_1 e_1 + \cdots a_n e_n) = a_i$ son la base de $V^*$ .

Supongamos que $v_j \rightharpoonup v$ . Entonces $e_i^*(v_j) \to e_i^* (v)$ para todos $i \in \{1, \dots, n\}$ . Es decir, $| e_i^*(v_j) - e_i^*(v) | \to 0$ en $\mathbb F$ . Por lo tanto, $\| v_j - v \|^2 = \sum_{i=1}^n |e_i^*(v_j) - e_i^*(v)|^2 \to 0$ es decir, que $v_j$ converge fuertemente a $v$ .

Answer 2

Quizás esto se entienda mejor desde una perspectiva topológica.

Una base para la topología débil está formada por intersecciones finitas de conjuntos de la forma $$\{u:a < \phi(u) < b\},$$

para cualquier función lineal continua $\phi$ . Desde el punto de vista geométrico, uno de estos conjuntos se parece a la losa infinita entre dos hiperplanos paralelos.

En dimensiones finitas, se puede intersecar un número finito de estos conjuntos para obtener un conjunto abierto parecido a un cubo (o cualquier otro conjunto convexo en realidad). Imagina que intersectas los planos paralelos en la dirección x con los de la dirección y, con los de la dirección z: en el centro te queda un cubo.

Ahora, si haces tu cubo lo suficientemente pequeño, puedes encajarlo dentro de cualquier bola abierta que se utilice para generar la topología fuerte. Por lo tanto, la topología débil es al menos tan fina como la fuerte en dimensiones finitas, por lo que la convergencia débil implica la convergencia fuerte allí.

Esto también permite intuir por qué el resultado falla en dimensiones infinitas: sólo se puede "controlar" una dirección por conjunto de hiperplanos paralelos. Así que en dimensiones infinitas, sea cual sea el conjunto finito de hiperplanos que utilices, siempre habrá una infinidad complementaria de direcciones que no se controlan.

Answer 3

Basta con demostrar que si $\mathrm{dim}(E) < \infty$ entonces $\sigma(E,E') = \mathcal{T}_E$ donde $\sigma(E,E')$ es de topología débil y $\mathcal{T}_E$ topología fuerte, o topología inducida por norma en $E$ . De forma equivalente, todo lo que está abierto $\mathcal{T}_E$ -Vecindario de origen $B_E(\epsilon)$ también es un abierto $\sigma(E,E')$ -Vecindario. Dejemos que $x=(x_1,...,x_n)$ entonces $\left \| x \right \|_E:=\max_{1 \leq j \leq n} |x_j|$ define una norma sobre $E$ (puedo tomar esta norma, ya que en dimensiones finitas son todas equivalentes), y \begin{align*} \displaystyle B_E(\epsilon)&=\lbrace x \in E : \left \| x \right \|_E < \epsilon \rbrace = \lbrace x \in E : |x_i| < \epsilon , \forall i=1,...,n \rbrace = \bigcap_{i=1}^n B_{\mathbb{K}}(\epsilon) \end{align*} donde esta intersección es por definición una $\sigma(E,E')$ -Vecindario abierto.

Nótese que tenemos convergencia débil si hay convergencia con respecto a la topología débil, sustancialmente por definición.