Una demostración alternativa de un lema en álgebra lineal

Question

En mi curso de álgebra lineal definimos una familia libre / linealmente independiente así :

Una familia de vectores de un $K$ -espacio vectorial $\left(A_i\right)_{i\in I}$ es libre / linealmente independiente si $$\forall J \subset I \text{ such that }\operatorname{Card}(J) \in \mathbb{N}, \forall j \in J, \forall k \in J, \forall e_k \in A_j,e_k\notin \operatorname{Span}\left(A_j\setminus e_k\right),$$ con $\setminus$ definir el setminus (eliminar un elemento de un conjunto)

Demostremos que esto es equivalente a la definición comúnmente utilizada :

$$\forall J \subset I \text{ such that }\operatorname{Card}(J) \in \mathbb{N}\forall j \in J, \forall e_j \in (A_j)_{j \in J} \\ \sum_{j\in J} \lambda_j e_j=0 \implies \forall k \in J, \lambda_k=0$$

donde $(\lambda_i)_{i \in I}$ es una familia de escalares de $K$

Prueba :

Dejemos que $J$ sea una subfamilia finita de $I$

Según la definición estándar :

si $(A_i)_{i \in I}$ no es libre, tenemos : $$ \forall j \in \!J,\forall e_j \in A_{j}, \sum_{j \in J} \lambda_j e_j=0 \wedge \exists k \in J, \lambda_k\neq 0 \\ \Leftrightarrow \exists k\in J \forall j \in J \forall e_j \in A_j,\sum_\limits{\substack{j \in J \\j \neq k }}\lambda_je_j+\lambda_ke_k=0\,\wedge \lambda_k\neq 0 \\ \Leftrightarrow\exists k\in J \forall j \in J \forall e_j \in A_j,\sum_\limits{\substack{j \in J \\j \neq k }}\lambda_je_j = -\lambda_k e_k \,\wedge \lambda_k\neq0\\ \exists k\in J \forall j \in J \forall e_j \in A_j,\sum_\limits{\substack{j \in J \\j \neq k }}-\frac{\lambda_j}{\lambda_k}e_j=e_k \, \wedge \lambda_k\neq 0 \\ \Leftrightarrow \exists k\in J \forall j \in J \forall e_j \in A_j, e_k \in \operatorname{Span}(A_j \setminus e_k) $$ Me pregunto si hay alguna forma de demostrar el siguiente teorema utilizando esta definición :

Dejemos que $F$ una familia libre de un espacio vectorial $S$ y $v$ un vector de $S$ entonces $ F\cup \lbrace v\rbrace$ es libre si $v \notin \operatorname{Span}(F)$

Answer 1

Reescribamos lo que significa para $F\cup \lbrace v\rbrace$ para ser libre :

$F\cup \lbrace v\rbrace$ es libre si $$ \forall e \in F\cup \lbrace v\rbrace, e \notin\operatorname{Span}(F\cup \left\lbrace v\right\rbrace \setminus \lbrace e\rbrace )$$

Así, en particular, para $v$ que es trivialmente un elemento de $F\cup \lbrace v\rbrace$ : $$v \notin\operatorname{Span}(F\cup \left\lbrace v\right\rbrace \setminus \lbrace v\rbrace )$$

pero tenemos $(F\cup \left\lbrace v\right\rbrace) \setminus \lbrace v\rbrace=F$

para que $$v \notin \operatorname{Span}(F)$$

Ahora supondremos que $v$ pertenece a este conjunto, y demostrar que $F \cup\lbrace v\rbrace$ no es gratis. (esto es lo contrario de la otra implicación)

$\forall v\in F, v \in \operatorname{Span}(F)$ como $v=1v$

como $F= (F\cup \left\lbrace v\right\rbrace) \setminus \lbrace v\rbrace$ es evidente que $$v \in\operatorname{Span}(F\cup \left\lbrace v\right\rbrace \setminus \lbrace v\rbrace )$$

para que $$ \exists u \in F, u \in\operatorname{Span}(F\cup \left\lbrace u\right\rbrace \setminus \lbrace u\rbrace )$$ es la negación de " $\operatorname{Span}(F\cup \left\lbrace v\right\rbrace \setminus \lbrace v\rbrace )$ es libre".

esta afirmación es cierta para $u=v \in F$ Y así, la prueba está hecha.

Nota : Libre y vinculado son sinónimos de linealmente independiente y linealmente dependiente en la prueba anterior.