Transformación de una estadística suficiente

Question

Quiero demostrar que si $T$ es una estadística suficiente para $\theta$ entonces cualquier transformación uno a uno, digamos $\phi=g(T)$ también es suficiente para $\theta$ Supongo que es más fácil de hacer con el teorema de la factorización.

Answer 1

Dejemos que $f_{\theta}(x)$ sea la función de densidad probabilística. Por la teorema de la factorización existe una función no negativa $k_{\theta}$ y $h$ tal que $$f_{\theta}(x)=h(x)\,k_{\theta}(T(x)).\tag1\label1$$ Desde $g$ es uno a uno, se puede hacer biyectiva restringiendo el codominio de $g$ a la gama de $g$ . Entonces \eqref{1} se convierte en $$f_{\theta}(x)=h(x)\,k_{\theta}(g^{-1}(g(T(x)))).\tag2\label2$$ Reescríbalo como $$f_{\theta}(x)=h(x)\,(k_{\theta} \circ g^{-1})(\phi(x)).\tag3\label3$$ Desde $k_{\theta}$ es no negativo, por lo que $k_{\theta} \circ g^{-1}$ es también no negativo. Invoca de nuevo el teorema de la factorización para sacar la conclusión deseada.