Matriz inversa de $\left(A-I\right)$ dado $A^{-1}$

Question

Me pregunto si la inversa de $$B = A-I$$ puede escribirse en términos de $A^{-1}$ y/o $A$ . Soy capaz de calcular con precisión $A$ y $A^{-1}$ que son matrices muy grandes. ¿Es posible calcular $B^{-1}$ sin calcular directamente ningún inverso?

Por ejemplo, si $A = 2I$ entonces $B^{-1}=\frac{1}{2}A$ .

Answer 1

No es una respuesta completa, pero si $\sum\limits_{k \geq 0} A^k$ converge entonces $$-(A-I) \sum\limits_{k \geq 0} A^k= \operatorname{Id}$$ por lo que $$(A-I)^{-1}=- \sum\limits_{k \geq 0} A^k$$

Answer 2

Por analogía con $\sum_{i=1}^\infty a^{-i}=(a-1)^{-1}$ ( $|a|>1$ ), se podría estudiar la convergencia de la serie $(A-I)^{-1}=A^{-1}+A^{-2}+\cdots$ .

De manera equivalente, si $C=(A-I)^{-1}$ entonces $C=A^{-1}(C+I)$ lo que podría sugerir un cálculo iterativo $C_{n+1}=A^{-1}(C_{n}+I)$ . Esto es esencialmente (si empezamos con $C=0$ ) lo mismo que la serie anterior.

Answer 3

Si $A$ es nilpotente, es decir, si existe $k\in N$ tal que $A^k=0$ entonces tenemos

$(\sum_{i=0}^{k-1}A^i)(I-A)=(I-A)(\sum_{i=0}^{k-1}A^i)=I$ por lo que la inversa es $-(\sum_{i=0}^{k-1}A^i)$

Si $A^2=-A$ entonces $(I-A)(I+A/2)=(I+A/2)(I-A)=I$

Y lo más importante $B=I-A$ puede no ser invertible en absoluto si $1$ es un valor propio de A, y si $1$ no es un valor propio, entonces siempre es invertible.

Answer 4

¿Por qué no encuentras $A-I$ y luego tomar su inversa? Creo que es mucho más fácil. Por ejemplo: $$A=\;\; \begin{pmatrix} a_1 & a_2\\ a_3 & a_4 \end{pmatrix}$$ $$ A-I= \;\; \begin{pmatrix} a_1-1 & a_2\\ a_3 & a_4-1 \end{pmatrix}$$

Por lo tanto, obtenemos : $$(A-I)^{-1}=\frac{1}{(a_1-1)(a_4-1)-a_2a_3}\;\; \begin{pmatrix} a_4-1 & -a_2\\ -a_3 & 1_1-1 \end{pmatrix}$$