Sobre la convergencia débil de la medida de probabilidad

Question

Dada la función de densidad de probabilidad (pdf) $f_n,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ si existe alguna constante $c>0$ tal que $f_n \to c\cdot g$ punto de vista, ¿tenemos necesariamente $c=1$ ?

Aplicando el lema de Fatou se obtiene inmediatamente que $c\leq 1$ pero ¿es posible que $c<1$ ?

Answer 1

Dejemos que $f_n(x)={\bf 1}_{[-1/2,0]\cup[n,n+1/2]}(x)$ y $g(x)=2\cdot{\bf 1}_{[-1/2,0]}(x)$ entonces $c=1/2$ .

Answer 2

Dejemos que $g$ sea un pdf cualquiera, y $f_n= {1\over2}(g+n(n+1) 1_{[{1 \over n+1},{1 \over n}]})$ . Entonces $f_n(x) = {1 \over 2} g(x)$ después de un número finito de $n$ .