Determinar la función de transferencia de un circuito con diferentes corrientes

Question

Acabo de empezar el tema de Análisis de Circuitos, y se supone que debo encontrar la función de transferencia del siguiente circuito:

Así que sé que debo utilizar KVL para resolver este problema. Primero puedo transformar el circuito a:

Del circuito, puedo ver que porque u*Vc está en paralelo con la salida:

$$V_o(s) = uV_c(s)$$ $$V_c(s)= \frac{V_o(s)}{u}$$

Utilizando el KVL,

$$V_i(s) = (I_1*R)+(I_3*R)+V_c(s)$$

donde: $$V_c(s) = \frac{V_o(s)}{u}$$

Ahora el problema es, ¿cómo obtengo exactamente I1 e I2 del circuito?

Es nuevo en esto, gracias :)

EDIT: He elaborado otra ecuación KVL, además de poder determinar I3. $$V_i(s) = (I_1*R)+(I_2*1/sc)+V_0(s)$$ $$I_3(s) = \frac {V_c(s)}{1/sc}$$

Answer 1

Lo primero que hice fue redibujar el circuito. Añadí un nodo 'Vx' para ayudarme a resolver.

(1) $$I_1 = I_2 + I_3$$

(2) $$I_1 = \frac{V_i - V_x}{R}$$

(3) $$I_2 = (V_x - V_o) * sC$$

(4) $$I_3 = \frac{V_x - V_o/u}{R}$$

Introduciendo las ecuaciones 2,3,4 en la 1 se obtiene:

(5) $$\frac{V_i - V_x}{R} = (V_x - V_o) sC +\frac{V_x - V_o/u}{R}$$

(6) $$V_i = V_x (sCR + 2) - V_o(sCR + 1/u)$$

________

Ahora vamos a obtener Vx en términos de Vo. Lo hago usando I_3

$$I_{3 (R)} = I_{3 (C)}$$

$$\frac{V_x - V_o/u}{R} = (V_o/u) * sC$$

$$V_x = V_o * \frac{sCR}{u} + \frac{V_o}{u}$$

$$V_x = V_o * \frac{sCR+1}{u}$$

______

Ahora, tengo el resto hecho, pero creo que eres capaz de llevarlo a cabo desde aquí. Creo que tu obstáculo fue el uso de Vx, que me ayudó a conseguir I1, I2 e I3.

Comprueba tu trabajo poniendo 'u' igual a 3, deberías ver algún pico de magnitud importante. Para la imagen de abajo he utilizado R = 10k, C = 1uF, u = 3.

Answer 2

Efectivamente, se pueden aplicar las técnicas de circuitos analíticos rápidos o FACTs como se describe en mi libro . Para un circuito sencillo como éste, bastan tres bocetos individuales para obtener las tres constantes de tiempo que necesitas:

Para la ganancia en cc, abre todos los condensadores y verás que \$H_0=A_{OL}\$ la ganancia en bucle abierto de su fuente controlada por tensión. A continuación, reduce la tensión de entrada a 0 V (sustitúyela por un cortocircuito) y "mira" a través de cada condensador para determinar la resistencia \$R\$ que ofrecen sus terminales de conexión. Esa resistencia multiplicada por el condensador será para las constantes de tiempo que necesitamos, \$\tau_1=R_aC_1\$ y \$\tau_2=R_bC_2\$ . En el último boceto, se "mira" a través de \$C_2\$ mientras que \$C_1\$ es un cortocircuito. Una vez hecho esto, se forma inmediatamente el denominador como \$D(s)=1+s(\tau_1+\tau_2)+s^2(\tau_1\tau_{12})\$ y una función de transferencia de la forma \$H(s)=H_0\frac{1}{D(s)}\$ . La siguiente hoja de Mathcad muestra los valores resultantes con los valores arbitrarios tomados de la respuesta anterior:

Como puede ver, su configuración conduce a dos polos de medio plano derecho que son indicativos de una respuesta inestable en el dominio del tiempo de lazo abierto (puede observar una ventaja de fase para un denominador de dos polos que es indicativo de la presencia de RHPPs). Si la ganancia de la fuente controlada aumenta hasta un valor alto, el condensador inferior \$C_1\$ crea un polo situado en una frecuencia muy alta (debido a la tierra virtual) y el sistema se convierte en un integrador con un polo situado cerca del origen pero en la RHP, de nuevo bastante inusual. Sin embargo, si la ganancia de la fuente controlada se vuelve negativa, volvería al plano de la mitad izquierda.

La siguiente simulación SPICE confirma los gráficos basados en la ecuación: