Las unidades de $\mathbb Z_4[x]$

Question

Las unidades de $\mathbb Z_4[x]$ debe ser $$\{f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\dots+a_nx^n\mid a_0\in\{1,3\},a_i\in\{0,2\}, 1\le i\le n\}.$$ Pero no sé cómo demostrarlo. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Tal vez incluso quieras probar el resultado general:

Para cualquier anillo conmutativo $R$ un polinomio $\sum_{k=0}^n a_k X^k$ es una unidad en $R[X]$ si y sólo si $a_0$ es una unidad en $R$ y $a_k$ es nilpotente para cada $1 \leq k \leq n$ .

Nótese que una dirección es inmediatamente clara, ya que cualquier suma de una unidad y un nilpotente es de nuevo una unidad.