¿El dual de un módulo proyectivo es siempre proyectivo?

Question

Puedo demostrarlo para módulos generados finitamente, apelando a la caracterización de un módulo proyectivo como sumando de un módulo libre, y al hecho de que los módulos libres de rango finito son isomorfos a sus duales.

¿Es cierto para todos los módulos? He visto pruebas aparentemente contradictorias en ambos sentidos (sobre todo en contra, por observaciones como la del dual de la suma directa de contablemente muchas copias de $\mathbb{Z}$ no es libre (¿pero podría seguir siendo proyectiva?).

Answer 1

Dejemos que $P = \bigoplus_{\mathbb{N}}\mathbb{Z}$ . Entonces el dual $\text{Hom}(\bigoplus_{\mathbb{N}}\mathbb{Z},\mathbb{Z})$ no es gratis.

Supongamos que es proyectiva, y por lo tanto hay alguna $B$ tal que $\text{Hom}(\bigoplus_{\mathbb{N}}\mathbb{Z},\mathbb{Z}) \oplus B$ es gratis. Como señala Arturo los subgrupos de los grupos abelianos libres son libres y así $\text{Hom}(\bigoplus_{\mathbb{N}}\mathbb{Z},\mathbb{Z})$ debe ser libre, lo cual es una contradicción.