Dividir los ceros del denominador

Question

Tome la ecuación $\displaystyle y=\frac{x^2+x-6}{x^2-4}$ que se forma a partir de la simplificación de $\displaystyle y= \frac{(x+3)(x-2)}{(x+2)(x-2)}$ .

Si dividimos $(x-2)$ a partir del numerador, obtenemos la función $\displaystyle y = \frac{x+3}{x+2}$ que se define para todos los números reales, excepto cuando $x = -2$ donde hay una discontinuidad infinita.

Sin embargo, si nos fijamos en la función original, ¿no sería 2 una discontinuidad extraíble? Multiplicando la ecuación por $\displaystyle \frac{x-2}{x-2}$ no cambia la ecuación, excepto cuando $x=2$ porque el denominador es ahora 0. Entiendo que el límite existe, pero Wolfram|Alpha parece decir que no sólo el límite, sino el punto existe realmente. No podríamos haber dividido $(x-2)$ si el denominador fuera igual a 0. ¿Me he equivocado terriblemente en alguna parte?

Answer 1

El punto no existe, ya que la división por cero no está definida. Wolfram Alpha sólo te da el límite como puedes ver en esto ejemplo también. Sin embargo el límite existe para que puedas dividir $(x-2)$ del numerador como has dicho pero en este caso siempre tienes que $x \neq 2$ porque consideras el límite así que cancelar el término es un paso válido para obtener la función sin la disconuidad.

Answer 2

Wolfram Alpha es simplemente descuidado. Si pones x/x en x=0 obtienes x/x= 1 en x=0. Puede ser que la práctica de ignorar esto sea fomentada por las aplicaciones prácticas porque , cuando obtenemos una expresión, las partes que se cancelan fueron introducidas espuriamente para empezar. ¿Qué circunstancias reales tendrían tales partes de cancelación?