Rango de la matriz, y fila de ceros

Question

Supongamos que $A$ es un $m \times n$ matriz con $Rank(A)=k <m$ ¿Cómo demostrarías que el $A$ contiene una fila de ceros

tiene sentido, lógicamente, si m es el número de columnas y el rango es el número de primeros 1 en A, entonces si el número de primeros 1 es menor que m, debería haber una fila de ceros para compensar esta discrepancia, pero tengo problemas para demostrarlo algebraicamente

Answer 1

Supongamos que $\widetilde{A}$ es la forma escalonada reducida de la matriz $A$ .
Primera entrada (desde la izquierda) de cada fila NO CERO en $\widetilde{A}$ es $1$ , conocido como entrada fundamental .

Para demostrar su afirmación, basta con mostrar que cada fila NO CERO puede tener una sola entrada pivotante .
Supongamos que hemos probado esto. Veamos sus implicaciones.
Sabemos que: el rango $A=$ recuento total de entradas pivotantes.
$\implies$ rango $A=$ recuento de filas NO CERO en $\widetilde{A}$ ( $\because$ cada fila NO CERO puede tener una única entrada pivotante)
Por lo tanto, el rango $A<m\implies$ el recuento de filas NO CERO es inferior a $m$ .
$\implies$ recuento de filas ALL-ZERO $\ge 1$
( $\because$ filas de $\widetilde{A}$ son de dos tipos: NON-ZERO o ALL-ZERO).
¡De ahí su conclusión en el post sigue!

Ahora la prueba requerida de la proposición: cada fila NO CERO sólo puede tener una única entrada pivotante
Prueba: Supongamos que NO. Supongamos que hay dos entradas pivotantes (en dos columnas distintas $i$ y $j$ ) de una fila, digamos $k_i$ y $k_j$ .
Pero, por definición, si $i<j$ , entonces la entrada $k_i$ debe ser cero, porque $k_j$ tiene que ser el primer valor no nulo (por lo que las entradas anteriores a ésta deben ser cero).
Sabemos por tricotomía, que o bien $i<j$ o $j<i$ .
Así, cualquiera de las dos entradas $k_i$ y $k_j$ NO es una entrada pivotante.
Pero esto contradice nuestra suposición de que ambos son fundamentales.
Por lo tanto, la conclusión es la siguiente.