Problema del bebé Rudin 7.16

Question

Problema 7.16: Supongamos que $\{f_n\}$ es una familia equicontinua de funciones sobre un conjunto compacto $K$ y $\{f_n\}$ converge puntualmente a algún $f$ en $K$ . Demostrar que $f_n \to f$ de manera uniforme.

Ahora para este problema asumo que $f_n,f : K \subset \Bbb{R} \rightarrow \Bbb{R}$ con la métrica euclidiana habitual. Aunque esto no se asume en el problema, lo asumo para simplificar las cosas primero.

Ahora creo que he demostrado que $f_n$ es uniformemente cauchy en $K$ de la siguiente manera. Por equicontinuidad de la familia $\{f_n\}$ Puedo elegir $\delta> 0$ tal que $|x-p_i|< \delta$ implicará que $|f_m(x) - f_m(p_i)| < \epsilon$ , y $|f_n(x) - f_n(p_i)| < \epsilon$ .

Considere la colección $\{B_\delta(x)\}_{x \in K}$ que cubre claramente $K$ por la compacidad de $K$ obtenemos que hay un número finito de puntos $p_1,\ldots p_n \in K$ tal que $\{B_\delta(p_i)\}_{i=1}^n$ es una tapadera para $K$ . Además, debido a que $f_n \rightarrow f$ para cada $x \in K$ obtenemos una secuencia de números de Cauchy, por lo que en particular dado cualquier $\epsilon > 0$ para cada $p_i$ existe $N_i$ tal que $m,n \geq N_i$ implica que $|f_m(p_i) - f_n(p_i) | < \epsilon$ . Tomando

$$N = \max_{1 \leq i \leq n} N_i$$

da que $m,n\geq N$ implica que $|f_m(p_i) - f_n(p_i)| < \epsilon$ para todos $i$ .

Ahora podemos por fin juntar todo para probar la cauchería uniforme, tomar cualquier $x \in K$ para que $x \in B_\delta(p_j)$ para algunos $1 \leq j \leq n$ . Entonces

$$\begin{eqnarray*} |f_n(x) - f_m(x)| &\leq& |f_n(x) - f_n(p_i) | + | f_n(p_i) - f_m(p_i)| + |f_m(p_i) - f_m(x)| \\ &<& \epsilon + \epsilon + \epsilon \\ &=& 3\epsilon. \end{eqnarray*}$$

El primer y el último término son menores que $\epsilon$ provienen de la equicontinuidad, siendo el término medio menor que $\epsilon$ proviene de la derivación anterior. Ahora lo que estoy pensando en hacer para demostrar la cauchicidad uniforme es tomar el sup de la izquierda, es esto algo legal ¿Qué puedo hacer? ¿Hay algún error en la prueba anterior?

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Este es el contexto por el que quiero probar la cauchería uniforme: Supongamos que sé que $\{f_n\}$ es uniformemente cauchy. Entonces sé que dado cualquier $\epsilon > 0$ existe $N \in \Bbb{N}$ tal que $m,n\geq N$ implica que $|f_n(x) - f_m(x)| < \epsilon$ para todos $x \in K$ . Ahora hacemos este truco de fijar uno de los índices. Fijar $n$ sea un número entero mayor que $N$ y que $m\rightarrow \infty$ vemos que

$$\begin{eqnarray*} |f_n - f| &=& \lim_{m\rightarrow \infty} | f_n - f_m| \\ &\leq& \epsilon \end{eqnarray*} $$

por la prueba de comparación de límites. Recordemos que $f$ era el límite puntual de $\{f_n\}$ . Pero entonces desde $n$ era cualquier número entero arbitrario mayor que $N$ tenemos que $f_n \rightarrow f$ de manera uniforme.

Answer 1

Sí, esto se ve bien. El punto con el $3\varepsilon$ es, que el rhs no depende de $x$ y luego la lhs se estima para todos los $x$ y suficientemente grande $n,m$ simultáneamente. Eso es lo importante que hay que ver aquí.

También puede intentar trabajar con $f$ y $f_n$ desde el principio el enfoque de la secuencia de Cauchy es correcto, pero yo lo consideraría un desvío. Sin embargo, depende sólo de su gusto.

Answer 2

Tu argumento es genial hasta el punto en que dices "Ahora lo que estoy pensando en hacer..."

Ya ha demostrado que $\{f_n\}$ es uniformemente Cauchy ya que ha demostrado que para cualquier $\epsilon>0$ Hay un $N$ para que si $n,m>N$ , $|f_m(x)-f_n(x)|<3\epsilon$ para todos $x\in K$ .

Para demostrar la convergencia uniforme, basta con decir que, debido a la convergencia puntual, para cualquier $x$ Hay un poco de $M>N$ para que si $m>M$ , $|f_m(x)-f(x)|<\epsilon$ . Entonces, para cualquier $n>N$ tenemos que $$ \begin{align} |f_n(x)-f(x)| &\le|f_n(x)-f_m(x)|+|f_m(x)-f(x)|\\ &<3\epsilon+\epsilon\\ &=4\epsilon \end{align} $$

Es decir, para cualquier $\epsilon>0$ Hay un $N$ para que si $n>N$ , $|f_n(x)-f(x)|<4\epsilon$ para todos $x\in K$ .