¿Cuándo se cierra un mapa adecuado?

Question

En Página 53 de "Lie Groups" de Duistermaat y Kolk, encontramos lo siguiente:

Un mapa $f:X\rightarrow Y$ entre espacios topológicos es adecuado si $f^{-1}(K)$ es compacto para cada compacto $K\subseteq Y$ .

Se afirma entonces que si $X$ y $Y$ son Hausdorff entonces $f$ es un mapa cerrado (es decir, si $C\subseteq X$ está cerrado, entonces $f(C)$ está cerrado en $Y$ ).

No he podido demostrarlo. En varios lugares, se puede encontrar una prueba de que si $Y$ es Hausdorff y localmente compacta, entonces adecuada implica cerrada (por ejemplo esta respuesta en MSE ).

¿Es este resultado cierto sólo bajo la condición de Hausdorff? Si no es así, ¿cuál es un contraejemplo?

Answer 1

Esto no es cierto si simplemente se asume $Y$ es Hausdorff (o incluso si se asume que ambos $X$ y $Y$ son Hausdorff). Por ejemplo, dejemos que $S$ sea un conjunto incontable y fije un elemento $a\in S$ . Sea $Y$ sea $S$ con la topología tal que un conjunto es abierto si es cocontable o no contiene $a$ . Sea $X$ sea $S$ con la topología discreta. Entonces $X$ y $Y$ son Hausdorff, y el mapa de identidad $f:X\to Y$ es propio ya que todo subconjunto compacto de $Y$ es finito. Sin embargo, $f$ no está cerrado.

(De manera más general, se podría tomar $Y$ sea cualquier espacio de Hausdorff que no esté generado de forma compacta y que $f:X\to Y$ sea su $k$ -de la clasificación. Así que, combinando esto con la respuesta de Stefan Hamcke en la pregunta enlazada, una condición necesaria y suficiente para que este teorema sea válido para un espacio de Hausdorff $Y$ es que $Y$ se genera de forma compacta).