Evalúa la suma: $\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac1{F_{(2^n)}}$

Question

Evalúa la suma:

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{F_{(2^n)}}$$

donde $F_{m}$ es el $m$ -término de la secuencia de Fibonacci. Necesito un poco de apoyo aquí. Gracias.

Answer 1

Como wikipedia afirma que el resultado se desprende de la identidad $$ \sum\limits_{n=0}^N\frac{1}{F_{2^n}}=3-\frac{F_{2^N-1}}{F_{2^N}} $$ Puedes intentar demostrarlo por inducción.

Answer 2

Ver http://oeis.org/A079585 y referencias allí.

Answer 3

Escribir Sum[1/Fibonacci[2^n],{n,0,infty}] en http://www.wolframalpha.com da,

$$\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{F_{(2^n)}} = \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^3+\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^2 = 2.381966\dots$$