Es $sp(4)$ una subálgebra de $su(5)$ ? ¿Y cómo puedo probar o refutar esto?
Ya sé que no puede ser un subgrupo regular maximal de $su(5)$ ya que el diagrama de Dynkin (que tiene dos raíces de longitud desigual) no se puede recuperar a partir del diagrama de dynkin (ampliado) de $su(5)$ . Por lo tanto, si se trata de una subálgebra, los generadores de Cartan de $sp(4)$ no es un subconjunto de los de $su(5)$ ...
$\mathfrak{sp}(n)$ es el álgebra de Lie de $n \times n$ matrices cuaterniónicas mixtas. Las entradas de dicha matriz por debajo de la diagonal están determinadas unívocamente por las entradas por encima y no hay ninguna restricción sobre ellas, por lo que contribuyen con $4 \frac{n(n-1)}{2} = 2n(n-1)$ a la dimensión. Las entradas en la diagonal deben ser puramente imaginarias, pero no hay ninguna restricción adicional sobre ellas, por lo que contribuyen con $3n$ a la dimensión. Por tanto, la dimensión total es $2n^2 - 2n + 3n = 2n^2 + n = n(2n + 1)$ .
Alternativamente, podemos calcular inductivamente la dimensión del grupo de Lie correspondiente $\text{Sp}(n)$ como sigue. $\text{Sp}(n)$ actúa naturalmente de forma transitiva sobre la esfera unitaria en $\mathbb{H}^n$ que es $S^{4n-1}$ con estabilizador $\text{Sp}(n-1)$ . Por lo tanto $\dim \text{Sp}(n) = \dim \text{Sp}(n-1) + 4n-1$ y escribir $4n-1 = 2(2n-1) + 1$ se puede ver por inducción que esto da $\dim \text{Sp}(n) = 2n^2 + n$ como arriba.
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