Estoy tratando de hacer el siguiente ejercicio:
Dejemos que $B=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3: x^2+y^2+z^2=1\}$ sea la bola unitaria.
Calcular la integral de superficie de $f(x,y,z)=(x^3,y^3,z^3)$ sobre la superficie de la bola unitaria.
Como f es un campo vectorial, tengo que utilizar la definición de "Integral de superficie para campos vectoriales".
Pero primero necesito una parametrización de la bola unitaria.
He decidido utilizar la parametrización:
$\phi (u,v)= \left(\begin{array}{c} \cos(u)\cos(v) \\ \sin(u)\cos(v) \\ \sin(v) \end{array}\right)$ para $0 \leq u\leq 2 \pi $ y $-\pi/2 \leq v \leq \pi/2$
para mantenerlo limpio dejar $K:=\{(u,v) \in \mathbb{R}^2:0 \leq u\leq 2 \pi ,\, -\pi/2 \leq v \leq \pi/2\}$
Ahora la integral de superficie es: $$\int_{\phi} \langle f,n\rangle=\int_K \langle f(\phi(u,v)), \frac{\partial \phi}{\partial u} \times \frac{\partial \phi}{\partial v} \rangle d(u,v)$$
En este caso: $ \frac{\partial \phi}{\partial u} \times \frac{\partial \phi}{\partial v} =\cos (v) \phi (u,v)$
y
$f(\phi(u,v))= \left(\begin{array}{c} \cos^3(u)\cos^3(v) \\ \sin^3(u)\cos^3(v) \\ \sin^3(v) \end{array}\right)$
Así, $$\langle f(\phi(u,v)), \frac{\partial \phi}{\partial u} \times \frac{\partial \phi}{\partial v} \rangle=\cos^4(u)\cos^5(v)+\sin^4(u)\cos^5(v)+\sin^4(v)\cos(v)$$
El último paso parece ser calcular la integral: $$\int_K \cos^4(u)\cos^5(v)+\sin^4(u)\cos^5(v)+\sin^4(v)\cos(v) d(u,v)= \int_{-\pi/2} ^{\pi/2} [\int_0 ^{2 \pi} \cos^4(u)\cos^5(v)+\sin^4(u)\cos^5(v)+\sin^4(v)\cos(v)du] dv =\frac{12 \pi}{5}.$$
Preguntas: ¿Son correctos mis cálculos (la forma en que lo calculo)?
Otra forma de hacer una parametrización de la bola unitaria sería resolver $x^2+y^2+z^2=1$ (localmente) para $z$ y utilizar $\phi_1 (x,y) =\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ \sqrt{1-x^2-y^2} \end{array}\right)$ y $\phi_2 (x,y) =\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ -\sqrt{1-x^2-y^2} \end{array}\right)$ como parametrización.
En este caso, ¿tengo que hacer la integral de superficie para ambas parametrizaciones y sumarlas? (si no, ¿cómo?)
