Diferencia entre dos funciones indicadoras cero-uno

Question

Tengo una función de indicador cero-uno $I(cond)$ que devuelve $1$ si la condición cond es verdadera y $0$ si cond es falso.

Ahora tengo la siguiente diferencia: $I(a = c) - I(b = c)$ . Por alguna razón, me gustaría escribir esta diferencia como una función de $I(a \neq b)$ (y eventualmente otros parámetros). Es decir, me gustaría que el término $I(a \neq b)$ para que aparezca en la fórmula.

He llegado a lo siguiente, pero no estoy seguro de que sea igual a $I(a = c) - I(b = c)$ : $$I(a=c)-I(b=c) = I(a \neq b) * ( I(a=c)-I(a \neq c) ) = I(a \neq b) * ( I(b \neq c)-I(b=c) )$$

EDIT: Para reformular la pregunta de otra manera:

Dado que $I(a=c)−I(b=c)=I(a \neq b) \times F(a,b,c)$ . Quiero determinar $F(a,b,c)$ tal que $F(a,b,c)$ no es una función de $I(a \neq b)$ ni una función de $I(a=b)$ y $F(a,b,c)$ se escribe de forma diferente a la expresión compacta trivial: $F(a,b,c)=I(a=c)−I(b=c)$

Answer 1

Como se señaló en los Comentarios a la Pregunta, además del caso $a=b$ , se da el caso de que $c$ no es igual a $a$ o $b$ que implica:

$$ I(a=c) - I(b=c) = 0 $$

Por lo tanto, podemos "factorizar" este cero y expresar la fórmula $I(a=c) - I(b=c)$ como un múltiplo de ambos:

• $I(a\neq b)$ que resulta en cero siempre que $a=b$ y

• $I((a-c)(b-c)=0)$ que resulta en cero siempre que $c$ no es ni $a$ ni $b$ .

Esto reduce el "requisito lógico" a sólo los casos en que $a\neq b$ y $c \in \{a,b\}$ para el que ya se ven algunas soluciones. En particular:

$$ I(a=c) - I(b=c) = I(a\neq b)\cdot I((a-c)(b-c)=0)\cdot (1 - 2I(b=c)) $$

Es decir, excluyendo los casos ya proscritos que dan un resultado nulo, el tercer y último factor de este lado derecho da $1$ cuando $a=c$ y $b\neq c$ y da $-1$ cuando $a\neq c$ y $b=c$ .

El lector puede disfrutar encontrando formas alternativas de condiciones que den funciones indicadoras equivalentes a las anteriores. Por ejemplo:

$$ I((a-c)(b-c)=0) = I(a=c\; \lor \; b=c) $$