Estoy tratando de resolver el siguiente ejercicio:
Dejemos que $R$ ser un anillo sin identidad. Sea $T$ sea el conjunto $R \times \mathbb{Z}$ . Definir la adición como $(r,m) + (s,n) = (r+s, m+n)$ y la multiplicación como $(r,m)(s,n) = (rs + ms + nr, mn)$ . Demostrar que $T$ es un anillo con identidad.
La forma en que he tratado de resolver esto es estableciendo primero $(r,m)(s,n) = (r,m)$ . Con $n=1$ esto da $mn = m$ por lo que tenemos $(r,m)(s,1) = (rs+ms+r, m)$ .
A continuación estaba pensando en poner $s = 0_R$ es decir, el elemento cero de $R$ (que existe desde $R$ es un anillo). Lo que me confunde es el significado de, por ejemplo $ms = m0_R$ ya que estamos multiplicando $m\in \mathbb{Z}$ con el elemento $s = 0_R \in R$ . Sabemos que la multiplicación por $0_R$ y un elemento de $R$ da el producto $0_R$ pero ¿qué pasa con la multiplicación de un elemento en $R$ con un elemento en $\mathbb{Z}$ ? Y si este no es el camino a seguir, ¿alguien tiene un consejo sobre cómo resolverlo en su lugar?
