Cálculo de un límite de integral

Question

Calculando el límite: $$\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{3\pi}\int_\pi^{2\pi}\frac{x}{\arctan(nx)} \ dx\right)^n$$ Hice la sustitución $t=nx$ entonces, tenemos: $$I=\frac{1}{n^2}\int_{n\pi}^{2n\pi}\frac{t}{\arctan t}dt$$ donde $I$ es la integral interna. ¿Cómo se puede continuar?

Answer 1

Desde $\arctan$ es creciente obtenemos $$\frac{1}{ n^2}\int_{n\pi}^{2n\pi }\frac{t}{\arctan 2\pi n}dt \leq I \leq \frac{1}{n^2}\int_{n\pi}^{2n\pi}\frac{t}{\arctan n \pi}dt$$

Ahora podemos calcular ambos lados y obtenemos

$$ \frac{4\pi ^2 - \pi^2}{2\arctan 2\pi n} \leq I \leq \frac{4\pi ^2 - \pi^2}{2\arctan \pi n} $$ Así que $$ \frac{3\pi ^2 }{2\arctan 2\pi n} \leq I \leq \frac{3\pi ^2}{2\arctan \pi n} $$ En este punto si no tiene que computar $I^n$ desde $\lim _{x \rightarrow \infty} \arctan (x) = \pi/2$ , obtendrá $ \lim _{n \rightarrow \infty} I= 3\pi$ .

Lo que implica que $\frac{I}{3\pi} \rightarrow 1$ .

Así que el límite $$\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{3\pi}\int_\pi^{2\pi}\frac{x}{\arctan(nx)} \ dx\right)^n$$ es de la forma $1^{\infty}$ . Aplicaremos la regla de L'H para calcularlo. Cambiamos de variable y en lugar de $n$ trabajamos con $t$ .

Haciendo el método estándar para aplicar la regla de L'H basta con calcualte $$ \lim _{t\rightarrow \infty}t \ln ( \frac{1}{3\pi}\int_\pi^{2\pi}\frac{x}{\arctan(tx)} \ dx ) $$ Calcualte \begin {align*} \lim _{t \rightarrow \infty }t \ln ( \frac {1}{3 \pi } \int_\pi ^{2 \pi } \frac {x}{ \arctan (tx)} \Ndx ) &= \lim _{t \rightarrow \infty } \frac { \ln ( \frac {1}{3 \pi } \int_\pi ^{2 \pi } \frac {x}{ \arctan (tx)} \Ndx ){ \frac {1}{t}} \\ &= \lim _{t \rightarrow \infty } \frac { \frac {1} {( \frac {1}{3 \pi } \int_\pi ^{2 \pi } \frac {x}{ \arctan (tx)} \Ndx )} \frac {1}{3 \pi } \int_\pi ^{2 \pi } \left ( \frac {x}{ \arctan (tx)} \right )' \ dx \ ~ - \frac {1}{t^2}} \\ &= \lim _{t \rightarrow \infty } \frac { \frac {1}{3 \pi } \int_\pi ^{2 \pi } \left ( \frac {x}{ \arctan (tx)^2} \right ) \frac {x}{1+t^2x^2} \N dx \N - \frac {1}{t^2}} \\ &= \lim _{t \rightarrow \infty } \frac {1}{3 \pi } \int_\pi ^{2 \pi } \left ( \frac {x}{ \arctan (tx)^2} \right ) \frac {t^2x}{1+t^2x^2} \ dx \\ &= \lim _{t \rightarrow \infty } \frac {1}{3 \pi } \int_\pi ^{2 \pi } \left ( \frac {1}{ \arctan (tx)^2} \right ) \frac {t^2x^2}{1+t^2x^2} \ dx \\ &= \lim _{t \rightarrow \infty } \frac {1}{3 \pi } \int_\pi ^{2 \pi } \left ( \frac {1}{ \left ( \frac { \pi }{2} \right )^2} \right ) \cdot 1 \ dx \ ~, \ ~, \rm {por\, dominado \, convergencia} \\ &= \frac {4}{3 \pi ^2} \end {align*}

Así que concluimos que la respuesta final es $$\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{3\pi}\int_\pi^{2\pi}\frac{x}{\arctan(nx)} \ dx\right)^n=e^{\frac{4}{3 \pi^2}}$$

Answer 2

Asintótica de la integral:

Cuando $x$ es grande, \begin {align} \frac {1}{ \arctan {x}} =& \frac {2}{ \pi } \frac {1}{1- \frac {2}{ \pi } \arctan\left ( \frac {1}{x} \right )} \tag1\\ =& \frac {2}{ \pi } \frac {1}{1- \frac {2}{ \pi } \left ( \frac {1}{x}- \frac {1}{3x^3}+ \cdots\right )} \tag2\\ =& \frac {2}{ \pi } \left (1+ \frac {2}{ \pi } \left ( \frac {1}{x}- \frac {1}{3x^3}+ \cdots\right )+ \frac {4}{ \pi ^2} \left ( \frac {1}{x}- \frac {1}{3x^3}+ \cdots\right )^2+ \cdots\right ) \tag3\\ =& \frac {2}{ \pi }+ \frac {4}{ \pi ^2 x}+ \frac {8}{ \pi ^3 x^2}+ \mathcal {O} \left (x^{-3} \right ) \tag4 \end {align} Entonces \begin {align} \frac {1}{3 \pi } \int ^{2 \pi }_ \pi\frac {x}{ \arctan (nx)}{ \rm d}x =& \frac {1}{3 \pi } \int ^{2 \pi }_ \pi\left ( \frac {2x}{ \pi }+ \frac {4}{ \pi ^2 n}+ \frac {8}{ \pi ^3 n^2x}+ \cdots\right )\ { \rm d}x \\ =&\ 1+ \frac {4}{3 \pi ^2n}+ \frac {8 \ln {2}}{3 \pi ^4n^2}+ \mathcal {O} \left (n^{-3} \right ) \end {align}

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Calculando el límite:

Su límite es, por tanto, el siguiente \begin {align} \lim_ {n \to\infty } \left ( \frac {1}{3 \pi } \int ^{2 \pi }_ \pi\frac {x}{ \arctan (nx)}{ \rm d}x \right )^n =&\ \exp\left\ { \lim_ {n \to\infty }n \ln\left ( \frac {1}{3 \pi } \int ^{2 \pi }_ \pi\frac {x}{ \arctan (nx)}{ \rm d}x \right ) \right\ } \tag5\\ =&\ \exp\left\ { \lim_ {n \to\infty }n \left ( \frac {4}{3 \pi ^2n}+ \mathcal {O} \left (n^{-2} \right ) \right ) \right\ } \tag6\\ =&\ \large { \color {rojo}{ \exp\left ( \frac {4}{3 \pi ^2} \right )}} \normalsize\approx1.144645419236050\tag7\\ \end {align}

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Verificación numérica:

Usando Mathematica estoy obteniendo $$\left(\frac{1}{3\pi}\int^{2\pi}_\pi\frac{x}{\arctan(999999999x)}{\rm d}x\right)^{999999999}\approx1.144645419247325$$ que es coherente con el resultado derivado.

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Explicación:

$(1)$ : Utilizó el hecho de que $\displaystyle\arctan{x}=\frac{\pi}{2}-\arctan\left(\frac{1}{x}\right)$ .
$(2)$ : Utilizó la serie para $\arctan{x}$ .
$(3)$ : Utiliza una serie geométrica.
$(4)$ : Ampliación de los términos.
$(5)$ : Utilizó el hecho de que $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n^{b_n}=\exp\lim_{n\to\infty}b_n\ln(a_n)$ .
$(6)$ : Utilizó la serie para $\ln(1+x)$ .
$(7)$ : Como $n\to\infty$ sólo queda el término constante.

Answer 3

puedes probar $tan (y )= nx $ así que $dy (1 + tan^2 y) = n dx $ así que

$$I = \lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{3\pi}\int_\pi^{2\pi}\frac{x}{\arctan(nx)} \ dx\right)^n =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{3\pi}\int_{actan(n\pi}^{arctan(2n\pi)}\frac{tan (y )}{n y} \ dy (1 + tan^2 y)\right)^n $$

y puede tener sup et inf o utilizar $arctan(n\pi)=\frac{\pi}{2}-\frac{1}{n\pi}$ de $tan(\frac{\pi}{2}-\alpha)= \frac{sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)}{cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)} = \frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)} \ approx \frac{1}{\alpha}$