Encuentra la solución general de $e^y (\cos xy - y \sin xy)dx + e^y (\cos xy - x \sin xy)dy = 0$

Question

Estoy tratando de averiguar si he metido la pata. He utilizado $\mu(x,y)=e^{-y}\cos^{-1}xy$ como factor integrador:

$$(1-y\tan xy)dx + (1-x\tan xy)dy = 0$$

Pero como se trata de una ecuación diferencial exacta, podemos buscar simplemente un campo diferenciable $F$ tal que

$$\begin{cases} F_x & = 1-y\tan xy \\ F_y & = 1-x\tan xy \end{cases}$$

Integrando $F_x$ por ejemplo $x$ obtenemos

$$\int (1-y\tan xy) dx = x + \ln|\cos xy| + \phi(y)$$

Cuando calculamos la derivada de esta expresión con respecto a $y$ podemos deducir que $\phi'(y)=1$ Así que $\phi(y)=y+C$ . Por lo tanto,

$$F(x,y)= x + y + \ln|\cos xy| + C$$

Por tanto, la solución general está definida implícitamente por la familia de ecuaciones de un parámetro $F(x,y)=0$ . ¿Es esto correcto? ¿Cómo puedo saber que no he ganado ni perdido soluciones al multiplicar por $\mu(x,y)$ ?

Answer 1

Obtuve la misma respuesta sin integrar el factor. Así que tu respuesta es correcta. $$e^y (\cos xy - y \sin xy)dx + e^y (\cos xy - x \sin xy)dy = 0$$ Desde $e^y \ne 0$ $$ (\cos xy - y \sin xy)dx + (\cos xy - x \sin xy)dy = 0$$ $$ \cos xy(dx+dy) - \sin xy(xdy+ydx) = 0$$ Tenemos $xdy+ydx=dxy$ $$ \cos xyd(x+y) - \sin xyd(xy) = 0$$ $$ d(x+y) - \tan xyd(xy) = 0$$ Integrar: $$x+y+\ln |\cos xy|=C$$