Integral triple (determinación de los límites):

Question

Encuentra el volumen del sólido dado. Sobre el paraboloide $z = x^2 + y^2$ y por debajo del medio cono $z=\sqrt{x^2+y^2}$ .

Tengo grandes dificultades para determinar los límites de las integrales. ¿Podría alguien proporcionarme una estrategia para hacerlo en este problema y para integrales complejas como éstas en general?

La respuesta correcta es:

$$\displaystyle \int_0^1 \int_0^{\sqrt{1-y^2}} \int_{x^2+y^2}^{\sqrt{x^2+y^2}} xyz\; dz \; dx \; dy$$

Después se utilizan coordenadas polares, sin embargo este procedimiento es claro para mí.

Answer 1

En los cartesianos, se encuentra la cantidad de espacio entre las dos superficies, que se expresa en función de $z$ . Así que hay que integrar

$$\int_{x^2+y^2}^{\sqrt{x^2+y^2}} dz\:$$

sobre la región en $(x,y)$ donde $\sqrt{x^2+y^2} >x^2+y^2$ . Esta región resulta ser el círculo $x^2+y^2$ =1. Por lo tanto, se consigue integrar la integral anterior sobre el disco $x^2+y^2 \le 1$ y debería obtener como volumen

$$\int_{-1}^1 dy \: \int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}} dx \: \int_{x^2+y^2}^{\sqrt{x^2+y^2}} dz\:$$

(No sé de dónde has sacado el $x y z$ ya que se trata de un cálculo de volumen). Entonces se utilizan coordenadas polares después de hacer la integral trivial sobre $z$ (o, de forma equivalente, coordenadas cilíndricas), con $x = r \cos{\theta}$ , $y=r \sin{\theta}$ y $dx\, dy = r \,dr \, d\theta$ . Obtenemos entonces para el volumen

$$\int_0^{2 \pi} d\theta \: \int_0^1 dr \: r (r-r^2) = 2 \pi \left ( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right ) = \frac{\pi}{12}$$