Símbolos de Landau y una pregunta sobre el punto de inflexión de una función diferenciable con frecuencia arbitraria

Question

Tengo dos preguntas y espero que esté bien hacerlas al mismo tiempo. Actualmente estoy tratando de resolver un ejercicio en línea sobre el cálculo diferencial y la serie de Taylor y estoy teniendo algunos problemas allí.

Dejemos que $f: (a,b) \rightarrow \mathbb{R}$ sea diferenciable en el punto $x_0$ . ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?

• $f(x) = f(x_0) + O(x-x_0) \;\; (x \rightarrow x_0)$
• $f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + O((x-x_0)^2) \;\; (x \rightarrow x_0)$
• $f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + o((x-x_0)) \;\; (x \rightarrow x_0)$

Estoy bastante seguro de que la tercera afirmación es cierta, porque esa es básicamente nuestra definición de la serie de Taylor. Sin embargo, no estoy muy seguro de las otras dos afirmaciones, aunque creo que ambas o ninguna son ciertas. Al demostrar el Teorema Fundamental del Álgebra, una vez "sustituimos" $o(r^k)$ por $O(r^{k+1})$ que ya entonces me resultaba difícil de entender. ¿Se puede hacer esto siempre? En ese caso, las tres afirmaciones serían correctas...

Dejemos que $f(x) = e^{\frac{-1}{|x|}} \cdot \cos(x^{-1})$ para $x \neq 0$ y $0$ para $x = 0$ . $f$ tiene un máximo o un mínimo local en $x=0$ .

De nuevo, no estoy seguro en absoluto. He trazado la función y he llegado a la conclusión de que tiene un mínimo en $x=0$ . Sin embargo, solemos tener un mínimo cuando $f'(x_0) = 0$ y $f^{(n)} (x_0) > 0$ , donde $n$ es un número par. Esta función es arbitrariamente diferenciable y creo que en ninguna de las derivadas $f^{(n)} (x_0) \neq 0$ ...

Me encantaría que alguien me ayudara en este aspecto.

Answer 1

Para su segunda pregunta, hay puntos arbitrariamente cercanos a cero, como $\frac{1}{2k\pi}$ para k un número natural, donde f(x)>0 y también puntos $\frac{1}{(2k+1)\pi}$ donde f(x)<0. Así que el cero no es ni un máximo ni un mínimo.

Answer 2

Para su primera pregunta, la primera afirmación es cierta; se deduce de la tercera.

La segunda afirmación no siempre es cierta; esencialmente requiere que la función sea dos veces diferenciable. Pruebe con una función que sólo sea diferenciable una vez en $x_0$ y ver qué pasa.

Answer 3

Para tu primera pregunta, el tercer enunciado es la definición habitual de la derivada. Para el segundo enunciado, toma la función de valor absoluto y la integra para obtener una función $f(x)$ ; compruebe lo que ocurre en $x_0=0$ .