Región de cobertura de $x(t) = e^{-2(t-3)} u(t-3)$

Question

Estaba respondiendo a un banco de preguntas sólo para ver en qué me he convertido y cómo van mis habilidades matemáticas después de entender algunos temas cuando una pregunta salvaje apareció. Dice así:

Determine la región de convergencia de la transformada de Laplace de $$x(t) = e^{-2(t-3)} u(t-3)$$

Mi trabajo

Tengo que encontrar primero la transformada de Laplace de $x(t) = e^{-2(t-3)} u(t-3)$ . Pero hay un problema: no sé cómo encontrar la transformada de Laplace de $$x(t) = e^{-2(t-3)} u(t-3)$$ debido a la molesta expresión $t-3$ que creo que es un retraso en el tiempo. Apenas he tenido experiencias con ese tipo de obtención de transformadas de Laplace antes... así que recurrí aquí en busca de ayuda.

Cómo obtener la transformada de Laplace de $$x(t) = e^{-2(t-3)} u(t-3)$$ , y, en última instancia, obtener su región de convergencia?

Answer 1

La función de paso de la unidad determina a partir de qué valor de $t$ su función será diferente de $0$ .

Entonces, si tenemos:

$$ u(t) = \begin{cases} 1, & \text{$t \geq 0$} \\ 0, & \text{$t<0$} \end{cases} $$

Con el cambio de hora que tenemos:

$$ u(t-3) = \begin{cases} 1, & \text{$t \geq 3$} \\ 0, & \text{$t<3$} \end{cases} $$

Aplicando la integral de la Transformada de Laplace, tenemos:

$$ \begin{align} X(s)&=\int_{3}^{\infty}e^{-2(t-3)}e^{-st}dt\\ &=\int_{3}^{\infty}e^{-t(2+s)}e^{6}dt\\ &=e^{6}\int_{3}^{\infty}e^{-t(2+s)}dt\\ &=e^{6}\left[-\frac{e^{-t(2+s)}}{(2+s)}\right]_{3}^{\infty}\\ &=\frac{e^{6}}{s+2}\left[e^{-3(s+2)}-\color{blue}{\lim \limits_{t \to \infty}e^{-t(s+2)}}\right]\\ &=\frac{e^{-3s}}{s+2} \end{align}$$

Ahora, utilizamos la parte en $\color{blue}{\text{blue}}$ para encontrar el $ROC$ de esta Transformada de Laplace. En esencia, podemos decir que:

$$ROC=\left\{s:\left|\lim \limits_{t \to \infty}e^{-t(s+2)}\right|<\infty\right\}$$

Así que

$$ \begin{gather} \left|\lim \limits_{t \to \infty}e^{-t(s+2)}\right|<\infty\\ \left|\lim \limits_{t \to \infty}e^{-2t}e^{-st}\right|<\infty\\ \left|\lim \limits_{t \to \infty}e^{-2t}e^{-t(\sigma+j\omega)}\right|<\infty\\ \left|\lim \limits_{t \to \infty}e^{-t(2+\sigma)}e^{-j\omega t}\right|<\infty\\ \lim \limits_{t \to \infty}\left|e^{-t(2+\sigma)}\right|<\infty\\ \end{gather} $$

Esto sólo será cierto si:

$$ \begin{align} 2+\sigma&>0\\ \sigma&>-2 \end{align} $$

Así, la región de convergencia comprende todos los valores de $s=\sigma+j\omega=\Re\{s\}+j\Im\{s\}$ para que $\Re\{s\}>-2$ y $\Im\{s\}\in \mathbb{R}$

Lo cual es correcto para una señal causal.