Raíz cuadrada de $i$

Question

¿Cuál es mi error? $i^1$ significa la rotación de $90°$ en sentido contrario a las agujas del reloj desde el eje real positivo. Así que $i^{1/2}$ significa la rotación de $45°$ . Así que la raíz cuadrada de $i$ debe tener ambas partes positivas (real e imaginaria). Pero las respuestas en todos los libros contienen también respuestas negativas. Por favor, guíen

Answer 1

La rotación de 90 grados en sentido contrario a las agujas del reloj corresponde a la multiplicación por $i$ .

Girar 450 grados en sentido contrario a las agujas del reloj es idéntico a un giro de 90 grados, por lo que también corresponde a la multiplicación por $i$ .

Tomar la raíz cuadrada corresponde a reducir la rotación a la mitad. Esto nos da 45 grados (la solución que has encontrado) y 225 grados (la solución negativa en los libros).

Puede que te preguntes si quieres ir más allá: 810, 1170, etc. Esto no te dará ningún resultado nuevo, porque cada uno será un múltiplo de 360 más que los resultados que ya tienes.

Vale la pena obtener la imagen de la multiplicación por $i$ correspondiente no sólo a una única rotación, sino a una lista infinita de rotaciones de 360 grados. Más adelante podrás ver fácilmente, por ejemplo, por qué un número tiene 3 raíces cúbicas (separadas 120 grados), 4 raíces cuartas (separadas 90 grados) y así sucesivamente.

Answer 2

Obsérvese que si $(a+bi)^2 = i$ para $a,b >0$ entonces $(-a-bi)^2=i$ también tiene.

En general, si $w$ es una raíz cuadrada de un número complejo $z$ entonces $-w$ también es una raíz cuadrada de $z$ .