Aquí está el teorema 3.55 del libro Principios del análisis matemático de Walter Rudin, 3ª edición.
Si $\sum a_n$ es una serie de números complejos que converge absolutamente, entonces todo reordenamiento de $\sum a_n$ converge, y todos ellos convergen a la misma suma.
Aquí está la prueba de Rudin.
Dejemos que $\sum a_n^\prime$ sea un reordenamiento, con sumas parciales $s_n^\prime$ . Dado $\varepsilon > 0$ existe un número entero $N$ tal que $m \geq n \geq N$ implica $$ \sum_{i =n}^m \left\vert a_i \right\vert \leq \varepsilon.$$ (Esta relación Rudin la llama (26).) Ahora elija $p$ tal que los enteros $1, 2, \ldots, N$ están todos contenidos en el conjunto $k_1, k_2, \ldots, k_p$ (utilizamos la notación de la definición 3.52). Entonces, si $n > p$ los números $a_1, \ldots, a_N$ se cancelará en la diferencia $s_n - s_n^\prime$ para que $\left\vert s_n - s_n^\prime \right\vert \leq \varepsilon$ por (26). Por lo tanto, $\left\{ s_n^\prime \right\}$ converge a la misma suma que $\left\{ s_n \right\}$ .
Y, finalmente, aquí está la definición 3.52 de Rudin.
Dejemos que $\left\{ k_n \right\}$ , $n = 1, 2, 3, \ldots$ sea una secuencia en la que cada entero positivo aparece una y sólo una vez (es decir, $\left\{ k_n \right\}$ es una función 1-1 de $J$ en $J$ en la notación de la definición 2.2). Poniendo $$ a_n^\prime = a_n \ \ \ (n= 1, 2, 3, \ldots),$$ decimos que $\sum a_n^\prime$ es un reordenación de $\sum a_n$ .
Y, en aras de la exhaustividad, Rudin utiliza el símbolo $J$ para denotar el conjunto de números naturales.
Ahora mi pregunta es, ¿cómo la relación de Rudin (26) da la conclusión de que $\left\vert s_n - s_n^\prime \right\vert \leq \varepsilon$ si $n > p$ ?
Así es como he podido entender la prueba.
Dado que $\sum \left\vert a_n \right\vert$ converge, podemos concluir que $\sum a_n$ también converge. Sea $$s = \sum_{n =1 }^\infty a_n.$$ Dejemos que $s_n$ , $(n = 1, 2, 3, \ldots)$ sean las sumas parciales de $\sum a_n$ . Entonces $$s = \lim_{n \to \infty} s_n.$$ Ahora dejemos que $\sum a_n^\prime$ sea una reordenación de $\sum a_n$ y que $s_n^\prime$ , $(n = 1, 2, 3, \ldots)$ sean las sumas parciales de $\sum a_n^\prime$ .
Demostramos que $$\lim_{n \to \infty} s_n^\prime = s$$ también. Ahora bien, como $s_n \to s$ como $n \to \infty$ Así que, teniendo en cuenta $\varepsilon > 0$ podemos encontrar un número natural $N_1$ tal que $$ \left\vert s_n - s \right\vert < \frac{\varepsilon}{2}$$ para todos $n \in \mathbb{N}$ tal que $n > N_1$ .
Ahora como $\sum \left\vert a_n \right\vert$ converge, por lo que podemos encontrar un número natural $N_2$ tal que $$ \sum_{i =n}^m \left\vert a_i \right\vert < \frac{\varepsilon}{2}$$ para todos $m, n \in \mathbb{N}$ tal que $m \geq n \geq N_2$ . Así que podemos concluir que $$\left\vert \sum_{i=n}^m a_i \right\vert < \frac{\varepsilon}{2}$$ para todos $m, n \in \mathbb{N}$ tal que $m \geq n \geq N_2$ .
Ahora dejemos que $N = \max \left\{ N_1, N_2 \right\}$ . Entonces, para todos los $m, n \in \mathbb{N}$ tal que $m \geq n > N$ tenemos $$ \left\vert s_n - s \right\vert < \frac{\varepsilon}{2}$$ y también $$\left\vert \sum_{i=n}^m a_i \right\vert < \frac{\varepsilon}{2}.$$
Ahora dejemos que $p$ sea un número natural tal que los enteros $1, 2, \ldots, N$ están todos contenidos en el conjunto $\left\{ k_1, \ldots, k_p \right\}$ . Entonces, para todos los $n \in \mathbb{N}$ tal que $n > p$ vemos que la diferencia $s_n - s_n^\prime$ es una suma de algunos términos finitos de la secuencia $\left( a_{N+1}, a_{N+2}, a_{N+3}, \ldots\right)$ y por lo tanto $$\left\vert s_n - s_n^\prime \right\vert < \frac{\varepsilon}{2}. $$
Así que si $n \in \mathbb{N}$ es tal que $n > \max \{ N, p \}$ entonces tenemos $$ \left\vert s_n - s_n^\prime \right\vert < \frac{\varepsilon}{2}$$ y también $$\left\vert s_n - s \right\vert < \frac{\varepsilon}{2}.$$ Por lo tanto, para todos los $n \in \mathbb{N}$ tal que $n > \max \{ N, p \}$ tenemos $$ \left\vert s_n^\prime - s \right\vert \leq \left\vert s_n^\prime - s_n \right\vert + \left\vert s_n - s \right\vert < \varepsilon,$$ de lo que se deduce que $$ \lim_{n \to \infty} s_n^\prime = s$$ también.
¿Es correcta mi comprensión de la demostración del teorema 3.55 en Baby Rudin? Si es así, ¿es mi versión la misma que la de Rudin? Si no es así, ¿en qué me he equivocado?
Y, si mi prueba también es correcta pero difiere de la de Rudin, ¿podría alguien aquí completar los detalles de la prueba original de Rudin por mí? Gracias.
