Algunas preguntas sobre $c_{00}$ en $\ell^\infty$

Question

En primer lugar, denotamos $$c_{00} = \{\{x_n\}\in\ell^\infty : x_n\not = 0 \hspace{3pt}\text{for a finite number of n's}\}$$

Me gustaría encontrar $\overline{c_{00}}$ . Lo intenté aquí:

Es $c_{00}$ espacio denso en $\ell^{\infty}$

¿Por qué es necesariamente $c_0 = \overline{c_{00}}$ ?

Answer 1

$c_0$ es un subespacio cerrado de $\ell^\infty$ que contiene $c_{00}$ . Por lo tanto, $\overline{c_{00}}\subseteq c_0$ .

Para la otra dirección, tenga en cuenta que si $x=\{x_n\}_{n=1}^\infty$ es un elemento de $c_0$ entonces para todos $k\in\mathbb{N}$ puede definir $y_k=(x_1,x_2,...,x_k,0,0,...)$ . Entonces $\{y_k\}_{k=1}^\infty$ es una secuencia de elementos en $c_{00}$ y puede comprobar que $y_k\to x$ en la norma del supremum. Así que $c_0\subseteq\overline{c_{00}}$ .