Integral de la desigualdad de Cauchy Schwarz

Question

He intentado hacer el siguiente problema sin éxito. Spivak Capítulo 13 Pregunta 39: Supongamos que f y g son integrables en $[a,b]$ . La desigualdad de Cauchy-Schwarz establece que: $$\bigg(\int_a^b fg \bigg)^2\leq \bigg(\int_a^b f^2 \bigg)\bigg(\int_a^b g^2 \bigg)$$ C) Si la igualdad se mantiene, ¿es necesariamente cierto que $f=\lambda g$ para algunos $\lambda$ ? ¿Y si $f$ y $g$ son continuas?

d)Demostrar que $\bigg(\int_0^1 f \bigg)^2\leq \bigg(\int_0^1 f^2 \bigg)$ . ¿Es este resultado cierto si $0$ y $1$ se sustituyen por $a$ y $b$ ?

Lo que hice:

Para el primer punto, había demostrado que si no existe tal $\lambda$ entonces la igualdad se mantiene al escribir $(f-\lambda g)^2>0$ y utilizando eso el delta sería menor que cero. Así que diría que es necesariamente cierto, pero la cuestión de la continuidad de las funciones me despistó y no estoy tan seguro.

Para la segunda, intuitivamente sé que el LHS puede ser menor dado que $f$ podría ser negativo y en tal caso, el $f^2$ ganaría", pero no sé cómo ir con esa idea si es la correcta. La segunda parte también me hizo dudar, pero diría que sí, que seguiría siendo cierto.

Answer 1

Para la pregunta $1$ El punto es que usted fue capaz de probar $$\int_a^b (f(x)-\lambda g(x))^2dx=0$$ para alguna lambda, pero si la función dentro de los paréntesis no es continua entonces podría ser distinta de cero en algún conjunto nulo. Con la continuidad se evita ese fenómeno y la función tiene que ser cero en todas partes.

Para la pregunta $2$ puede aplicar la pregunta $1$ con $g\equiv1$ (una función constante). Este argumento sólo es válido si el intervalo tiene una longitud $1$ sin embargo.

Se puede ver que un contraejemplo cuando el intervalo no tiene longitud $1$ viene dada por $f\equiv 1$ en el intervalo $[0,2]$ : $$\left(\int_0^2 1dx\right)^2=2^2=4$$ mientras que $$\int_0^2 1^2dx=2$$