Los elementos se conjugan en la terminación profinita

Question

El problema. Dejemos que $G$ sea un grupo residualmente finito, e identifique $G$ con su imagen bajo el mapa canónico a su terminación profinita $\hat{G}$ . Sea $x,y \in G$ . Demuestra que las siguientes condiciones son equivalentes:

(i) $x,y$ son conjugados en $\hat{G}$ .

(ii) las imágenes de $x,y$ en $G/K$ son conjugados en $G/K$ para cada subgrupo normal $K$ de índice finito en $G$ .

Estoy seguro de que estoy confundido con este problema, por lo que me gustaría recibir ayuda.

Sabemos que $$\hat{G} = \varprojlim_{K \in I}G/K$$ donde $I$ es una base filtrante no vacía de subgrupos normales de índice finito en $G$ y existe un homomorfismo continuo $\varphi: G \to \hat{G}$ dado por $\varphi(g) = Kg$ . La pareja $(\hat{G},\varphi)$ tiene la propiedad:

"si $\psi: G \to H$ es un homomorfismo continuo, a un grupo finito $H$ entonces existe un homomorfismo único $\overline{\psi}: \hat{G} \to H$ tal que $\psi = \overline{\psi}\circ\varphi$ ."

1. Si $x,y \in G$ entonces $Kx,Ky \in \hat{G}$ . Por lo tanto, el punto (i) debe ser "... en $G$ "?

2. ¿Quiénes son las imágenes de $x,y$ en $G/K$ ? Desde $\hat{G} = \varprojlim G/K$ entonces $(G/K_{i},f_{ij})$ es un sistema inverso con límite inverso $(\hat{G},f_{i})$ donde $f_{i}: \hat{G} \to G/K_{i}$ ? Podemos conectar $G$ a $\hat{G}$ por $\varphi$ y $\hat{G}$ a $G/K_{i}$ por $f_{i}$ Pero, ¿quién es? $f_{i}$ ? No conozco una definición de terminación que utilice, explícitamente, sistemas inversos indexados por un conjunto directo y sus mapas. Por lo tanto, no sé cómo empezar este problema.

Answer 1

No es necesario un "filtro base de subgrupos normales" para definir $\hat{G}$ . Tome $\hat{G}= \underset{\leftarrow}{\mathrm{lim}} \: G/K$ sobre todo subgrupo normal de índice finito $K$ de $G$ . Entonces $\hat{G}$ es un subgrupo del producto $\prod_K G/K$ (sobre el mismo $K$ ') como en el comentario de @reuns, y uno tiene proyecciones $p_K :\hat{G} \to G/K$ para todo subgrupo normal de índice finito $K$ de $G$ que son factorizaciones de las proyecciones comunes $\pi_K : G \to G/K$ : $\pi_K = G \overset{i}{\to} \hat{G} \overset{p_K}{\to} G/K$ (donde $i$ es la inclusión natural).

Así que $(i) \Rightarrow (ii)$ es bastante claro.

Para la otra inclusión, hay que construir un elemento $z=(z_K)_K \in \hat{G}$ tal que $zxz^{-1}=y$ de $z_K$ de tal manera que $z_K p_K(x) z_K^{-1}=p_K(y)$ para todo subgrupo normal de índice finito $K$ de $G$ .