Para $n > 1\in \Bbb N$ demostrar que..: $$ J_n = \int \frac{x^n dx}{\sqrt{ax^2 + bx + c}} = \\ {1\over na}\left(x^{n-1}\sqrt{ax^2 + bx + c} - {b\over 2}(2n-1)J_{n-1} - c(n-1)J_{n-2}\right) $$
Llevo un tiempo trabajando en esto sin ningún éxito. Primero he intentado utilizar el hecho de que: $$ \int {P_n(x)dx\over \sqrt{ax^2 + bx + c}} = Q_{n-1}(x)\sqrt{ax^2 + bx + c} + \int {\lambda dx \over \sqrt{ax^2 + bx + c}} $$ donde $Q_{n-1}(x)$ es un polimonio de $n-1$ grado al máximo y coeeficiencias para $Q_{n-1}(x)$ y $\lambda$ están aún por determinar. Usando los polinomios del enunciado del problema obtenemos: $$ \int \frac{x^n dx}{\sqrt{ax^2 + bx + c}} = Ax^{n-1}\sqrt{ax^2 + bx + c} + \int{\lambda dx \over \sqrt{ax^2 + bx + c}} $$
Diferente ambas partes de la igualdad, después de lo cual tenemos que encontrar los coeficientes: $$ \frac{x^n dx}{\sqrt{ax^2 + bx + c}} = {d(Ax^{n-1}\sqrt{ax^2 + bx + c})\over dx} + {\lambda \over \sqrt{ax^2 + bx + c}} = \\ A(n-1)x^{n-2}\sqrt{ax^2 + bx + c} + Ax^{n-1}\frac{2ax + b}{2\sqrt{ax^2 + bx + c}} + {\lambda dx \over \sqrt{ax^2 + bx + c}}$$
Multiplicando ambos lados por $\sqrt{ax^2 + bx + c}$ y saltando alguna transformación algebraica pude efectivamente conseguirlo: $$ A = {1\over na} $$
Sin embargo, el término $\lambda$ parece ser igual a $0$ . Lo que produce: $$ J_n = {x^{n-1}\over na}\sqrt{ax^2 + bx + c} $$ Y este enfoque no parece llevar a ninguna parte. Entonces he probado una técnica diferente. Deje que $b = 2b_0$ Entonces: $$ aJ_{n+2} = \int \frac{ax^{n+2}dx}{\sqrt{ax^2 + 2b_0x+c}}\\ 2b_0J_{n+1} = \int \frac{2b_0x^{n+1}dx}{\sqrt{ax^2 + 2b_0x+c}}\\ cJ_n = \int \frac{cx^{n}dx}{\sqrt{ax^2 + 2b_0x+c}} $$
Sumando las partes izquierda y derecha obtenemos: $$ aJ_{n+2} + 2b_0J{n+1} + cJ_n = \\ \int \frac{(ax^2 + 2b_0x + c)x^n dx}{\sqrt{ax^2 + 2b_0x + c}}= \\ \int {x^n\sqrt{ax^2 + 2b_0x + c}} dx $$
La integración por partes da como resultado: $$ u = \sqrt{ax^2 + 2b_0x + c}\\ du = {2ax + 2b_0\over 2\sqrt{ax^2 + 2b_0x + c}}dx\\ dv = x^n\\ v = {x^{n+1}\over n+1}\\ \int {x^n\sqrt{ax^2 + 2b_0x + c}} dx = uv - \int vdu = \\ = {x^{n+1}\over n+1} \sqrt{ax^2 + 2b0x + c} - {J_{n+2}\over n+2} - {J_{n+1}\over 2(n+1)} $$
Que parece ser "al revés". La pregunta es ¿qué técnica utilizo para demostrar lo que se dice en la sección de preguntas? Espero no haber cometido errores tipográficos en el cuerpo. Gracias.
