Si $\tan\alpha$ , $\tan\beta$ son raíces de $x^2+px+q=0$ evalúen: $\sin^2(\alpha+\beta)+p\sin(\alpha+\beta)\cos(\alpha+\beta)+q\cos^2(\alpha+\beta)$

Question

Pregunta : Sabiendo que $\tan\alpha$ , $\tan\beta$ son raíces de la ecuación cuadrática $x^2+px+q=0$ ;

Calcula la expresión $\sin^2(\alpha +\beta) +p\sin(\alpha +\beta) \cos(\alpha +\beta)+q\cos^2(\alpha +\beta$ )

Mi trabajo :

La suma de las raíces es : $\tan\alpha +\tan\beta = -p; $ producto de las raíces $\tan\alpha \tan\beta = q; $

Después de poner estos valores de las raíces en la ecuación dada obtuve :

$x^2-(\tan\alpha + \tan\beta) x + ( \tan\alpha \tan\beta) =0$

Por favor, sugiera si es el método correcto de abordar esto o algún otro método mejor. Gracias

Answer 1

Tenemos $-(\tan\alpha +\tan \beta) = p$ y $\tan\alpha\tan\beta=q$ .

Tenga en cuenta que $\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-q}$ y por lo tanto $p = -\tan(\alpha+\beta)(1-q)$ .

Sustituya esto por $p$ para obtener,

$\sin^2(\alpha +\beta) -\tan(\alpha+\beta)(1-q)\sin(\alpha +\beta) \cos(\alpha +\beta)+q\cos^2(\alpha +\beta)$

o $\sin^2(\alpha +\beta) -(1-q)\sin^2(\alpha +\beta) +q\cos^2(\alpha +\beta)$

\= $q\sin^2(\alpha +\beta) +q\cos^2(\alpha +\beta) = q$

Answer 2

Aquí va lo feo.

Tenga en cuenta que $$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}=-\frac{p}{1-q}.$$

Multiplicar y dividir la expresión que nos han dado por $\cos^2(\alpha+\beta)$ . Obtenemos $$\cos^2(\alpha+\beta)\left(\tan^2(\alpha+\beta)+p\tan(\alpha+\beta)+q\right).$$

Casi terminado, ya que $\cos^2(\alpha+\beta)=\frac{1}{\tan^2(\alpha+\beta)+1}$ .

Answer 3

Pistas e ideas:

$$1+\tan^2x=\frac1{\cos^2x}\;,\;\;1+\cot^2x=\frac1{\sin^2x}$$

$$\tan(x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}$$

Así, por ejemplo:

$$\sin^2(\alpha+\beta)=\frac1{1+\cot^2(\alpha+\beta)}=\frac1{1+\left(\frac{1-\tan\alpha\tan\beta}{\tan\alpha+\tan\beta}\right)^2}=\frac{(\tan\alpha+\tan\beta)^2}{(\tan^2\alpha+1)(\tan^2\beta+1)}\ldots$$

y etc.