Bloque de deslizamiento hacia abajo Hemisferio

Question

Un bloque de masa m se desliza por una semiesfera de masa M. ¿Cuáles son las aceleraciones de cada masa? Supón que el rozamiento es despreciable.

a_M = Aceleración de la semiesfera

N_m = Fuerza normal de M sobre m

N_M = Fuerza normal del suelo sobre M

Así que a partir de los FBD's, se me ocurre

$$\sum \text{F}_{xm}= mg\sin \theta = m(a_t - a_M \cos \theta)$$

$$\sum \text{F}_{ym} = N_m - mg \cos \theta = -m(a_r + a_M \sin \theta)$$

$$\sum \text{F}_{xM} = -N_m \sin \theta = Ma_M$$

Necesito otra ecuación, así que he intentado seguir la ruta del trabajo-energía, para encontrar la velocidad tangencial del bloque que se desliza sobre la semiesfera, pero ¿puedo mirar la energía del bloque por sí mismo? Me imagino que no puedo, ya que está encima de un cuerpo en aceleración.

Sin embargo, si puedo considerar la energía del bloque por sí mismo para encontrar la velocidad tangencial, entonces puedo resolver para aM,

$$ a_M = gm\sin \theta \frac{2-3\cos \theta}{M-m\sin ^2 \theta} $$

que va a 0 cuando M >> m y entonces $$a_t = g\sin \theta$$ en ese caso, que se comprueba, sin embargo, Im todavía un poco de cansancio acerca de esto.

Estoy bastante atascado aquí, así que cualquier ayuda sería apreciada.

Answer 1

No he comprobado a fondo sus diagramas de cuerpo libre, pero parecen correctos. Un comentario sin embargo, no creo que usar la separación polar de las aceleraciones sea particularmente útil para este problema ya que el origen obvio para dicho sistema es la aceleración, como bien indicas.

Creo que las ecuaciones que te faltan son sólo tus restricciones geométricas. No las has utilizado. Me he dado cuenta de que estamos utilizando una convención diferente para las coordenadas. El mío es un sistema de coordenadas cartesianas estático con el origen en el centro del hemisferio al principio, pero no se mueve con él. Supongo que podemos tratar este problema en dos dimensiones. Suponiendo que el bloque no ha perdido el contacto con la semiesfera, tienes $$(x_m-x_M)^2 + y_m^2=R^2,$$ que es una ecuación válida en todos los tiempos, por lo que relaciona las tres aceleraciones y velocidades de una manera complicada que aparece explícitamente derivando dos tiempos. Y la quinta ecuación es simplemente $$\tan\theta=\frac{y_m}{x_m-x_M}.$$ Por lo tanto, tienes la normal, las tres variables dinámicas y una cuarta variable dinámica dependiente introducida sólo para facilitar la notación, $\theta$ . Las ecuaciones del FBD en mi caso son \begin{align} m \ddot{y}_m &= N\cos\theta -mg\\ m \ddot{x}_m &= N \sin\theta\\ M \ddot{x}_M &= -N cos\theta \end{align} Cinco ecuaciones para cinco incógnitas, y una solución muy fea que no creo que exista en forma cerrada.

Has preguntado por la energía. Efectivamente, se puede utilizar este enfoque ya que no hay fricción. En realidad, el enfoque energético es útil incluso cuando los objetos ya no están en contacto. Supongamos que el bloque comienza a moverse en la posición que representas en tu imagen, es decir $y_m(t=0)=h$ y $x_m(t=0)=\sqrt{R^2-h^2}$ y $x_M(t=0)=0$ con todas las velocidades iguales a cero en $t=0$ . Por lo tanto, la conservación de la energía dicta $$\frac{1}{2}M\dot{x}_M^2+\frac{1}{2}m(\dot{x}_m^2+\dot{y}_m^2)+mgy_m=mgh.$$

Answer 2

Podemos resolver este problema fácilmente utilizando sólo la ley de conservación del momento y la ley de conservación de la energía.

Es obvio que en este caso sólo se conserva la componente horizontal del momento del sistema del bloque y de la semiesfera (estoy utilizando las notaciones OP):

$$(m+M)v_M-mv_m\cos\theta=0$$

Ahora, una ecuación de conservación de la energía:

$$Mv^2_M+mv^2_m=2mgR(1-\cos\theta)$$

Introduzcamos la relación

$$\eta=\frac{M}{m}$$

Entonces las ecuaciones parecen más sencillas

$$(1+\eta)v_M-v_m\cos\theta=0\qquad(1)$$

$$\eta v^2_M+v^2_m=2gR(1-\cos\theta)\qquad(2)$$

Ahora, la parte física del problema se ha completado. Nos queda la matemática pura.

De las dos últimas ecuaciones obtenemos una expresión para $v_m$ :

$$v^2_m=\frac{2gR(1-\cos\theta)}{1+\gamma\cos^2\theta}\qquad(3)$$

donde $\gamma=\frac{\eta}{(1+\eta)^2}$ para simplificar.

Ahora, la aceleración del bloque $a_m=\dot{v}_m$ se puede obtener diferenciando (3) por el tiempo, recordando que $\theta=\theta(t)$ y señalando que $\dot{\theta}=\frac{v_m}{R}$ .

Creo que la forma más fácil es el método de diferenciación logarítmica de (3).

La aceleración del hemisferio $a_M=\dot{v}_M$ se puede obtener diferenciando (1) por el tiempo:

$$a_M=\dot{v}_M=\dot{v}_m\frac{\cos\theta}{1+\eta}-v_m\frac{\sin\theta}{1+\eta}\dot{\theta}=$$

$$=\dot{v}_m\frac{\cos\theta}{1+\eta}-\frac{v^2_m}{R}\frac{\sin\theta}{1+\eta}$$

Desde $\dot{v}_m$ y $v_m$ ya se han calculado hemos terminado.