¿Existe una función $f$ tal que tiene un valor finito para cada punto $x$ de $[0,1]$ sin embargo, para cualquier nbhd de $x$ $f$ no tiene límites?
Gracias por su ayuda.
Respuestas
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Creo que dicha función puede estar dada por $$ f(x) = \begin{cases} 0,\text{ if }x\notin\Bbb Q \\ n,\text{ if }x = m/n \in \Bbb Q, \end{cases} $$ donde se supone que las representaciones de los racionales como fracciones son irreducibles. Es evidente que la función es finita (puntualmente). Para demostrar que es ilimitada consideremos el siguiente argumento.
Si $x$ es irracional, se puede considerar la secuencia $x_k\to x$ donde $x_k$ es una representación decimal de $x$ hasta el $k$ 'th digit'. Debe quedar claro que $f(x_k)$ crece ilimitadamente: habrá un número infinito de dígitos no nulos en la representación decimal de $x$ para que $f(x_k)$ contiene un número infinito de potencias $10^k$ .
Si $x$ es racional, cuando fijas una vecindad de ella que te interesa, escoge allí cualquier número irracional $x'$ y repite el procedimiento anterior.
runeh
Puntos
1304
Puedes probar el Base de Conway $13$ Función que toma todos los valores de $\mathbb R$ en la vecindad de cualquier punto. Tiene la propiedad de valor intermedio, pero no es continua en ninguna parte.
La idea básica es utilizar la base $13$ expansión de un número como código para un decimal (base $10$ expansión), con los símbolos adicionales que codifican para $+$ , $-$ y el punto decimal. Los números "imposibles" se asignan a cero, pero si la parte final de la base $13$ expansión es un código para un número decimal, entonces se mapea a eso.
