Supongamos $f$ es toda una función en $\mathbb{C}^n$ que satisface para cada $\epsilon>0$ a un crecimiento condición $$|f(z)|\leq C_{\epsilon}(1+|z|)^{N_{\epsilon}}e^{\epsilon | \text{Im}\,z|}$$
Mostrar que $f$ es un polinomio. (Sugerencia: estudio de $\hat{f} = \mathcal{F}(f)$ la transformada de Fourier).
Sé que voy a aplicar el Paley-Wiener-Teorema de Schwartz, pero no sabe cómo.;.
(Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Paley%E2%80%93Wiener_theorem a continuación).
Todas las sugerencias y/o consejos son muy apreciados. Thnx.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Bueno, yo creo que debe ser claro como el sugerido por Aarón que la del Teorema de Schwartz en su vínculo implica que para cada $ \epsilon >0 $ tiene una distribución $ v $ apoyado en la cerrada de la bola de $ B(0,\epsilon) $, e $ f = \hat{v} $. Así que tenemos la distribución de $v$$ f = \hat{v} $$ supp(v) = \{0\} $. Por lo tanto es un conocido resultado de que para algunos $k $ $$ v = \sum_{|\alpha | = k}C_\alpha D^\alpha \delta $$ Por lo tanto $f(\xi) = \hat{v}(\xi) = \sum_{|\alpha | = k}C_\alpha \hat{(D^\alpha \delta)}(\xi)= \sum_{|\alpha | = k}C_\alpha (2\pi i \xi)^\alpha $ es de hecho un polinomio.
