¿Algún libro de texto o apuntes de clase sobre la parte algebraica de la geometría?

Question

Sé que hay libros de texto de topología algebraica. Hay libros de geometría diferencial. Pero cuando leo artículos, por ejemplo, muchos artículos que hablan de los grupos fundamentales o de los grupos superiores de homotopía de ciertas variedades, a veces aparecen muchos términos del álgebra abstracta: nilpotente, soluble o amenable, etc. Puedo entender esas definiciones, pero me siento muy incómodo por no tener una sensación geométrica de esos lenguajes. Así que pido una buena referencia, idealmente escrita por un geómetra, que cubra el material de esta parte.

Gracias de antemano por cualquier sugerencia.

Answer 1

¿Y los temas de De la Harpe en teoría geométrica de grupos?

Answer 2

Como ha mencionado los grupos de homotopía superior, vale la pena señalar que estos son siempre abeliano que es una condición más fuerte que cada una de las condiciones de nilpotencia, solubilidad y amenidad. Así que probablemente no encontrarás estos adjetivos cuando describas grupos de homotopía superiores.

Los grupos fundamentales no necesitan ser abelianos, pero pueden ser casi abeliano y cada una de las tres propiedades que mencionas dan diferentes maneras de formalizar lo que esto debería significar. Como menciona Igor en su respuesta, el estudio de las propiedades de los grupos a través de su realización como grupos fundamentales de complejos es el tema de la teoría geométrica de grupos.

En cuanto a las referencias, no conozco bien la literatura de geometría, pero el capítulo 10 del libro de G. W. Whitehead "Elementos de la teoría de la homotopía" contiene una buena introducción a la nilpotencia para los topólogos.