El dual de un espacio de Fréchet.

Question

Deje $\mathcal{F}$ ser un espacio de Fréchet (localmente convexo, Hausdorff, metrizable, con una familia de seminorms ${\|~\|_n}$).

He leído que el dual $\mathcal{F}^*$ es nunca un espacio de Fréchet, a menos que $\mathcal{F}$ es en realidad un espacio de Banach. Me gustaría saber de qué manera la doble puede no ser Fréchet en general; por ejemplo, es siempre incompleta como un espacio métrico? O es que siempre no metrizable? Cuáles son los problemas reales aquí?

Si hay una relativamente fácil la prueba de este hecho (que $\mathcal{F}^*$ no es Fréchet menos $\mathcal{F}$ es de Banach), te lo agradecería también.

Gracias.

[EDIT: La referencia citada por Dirk contiene un Teorema cuya prueba es inaccesible para mí, así que me gustaría upvote/aceptar una respuesta que al menos bocetos tal prueba, o proporciona otra manera de resolver la cuestión.

También me gustaría ser interesante en cualquier explicaciones con respecto a la afirmación de que "(...) un LCTVS no puede ser (no trivial) proyectiva límite y un límite inductivo de countably infinito familias de los espacios de Banach al mismo tiempo.", Andrew Stacey en ese enlace, que se relaciona con mi pregunta.]

Answer 1

La respuesta depende un poco de lo que quieres decir con "es un Frechet espacio": Si consideras $F^*$ sólo como un espacio vectorial puede ser completa normas que, sin embargo, no tienen nada que ver con la dualidad. Si $F$ sí no es normativa completa no está norma $p$ $F^*$ cuya topología es más fino que el de los débiles estrellas-topología: Ya que cada funcional lineal continua en $F$ es continua con respecto a algunas de las $\|\cdot\|_n$ ha $F^*=\bigcup_n A_n$ donde $A_n=\{f\in F^*: |F| \le n\|\cdot\|_n \}$ es débil-star-compacto por el teorema de Alaoglu y, por tanto, $p$- cerrado. Ahora, Baire teorema implica que algunos $A_N$ $p$- los puntos del interior y la convexidad de $A_N$ implica que el $0$ es un punto interior. Esto implica $F^* = \bigcup_m m A_N$, es decir, todos los $f\in F^*$ es continua con respecto a la misma seminorm $\| \cdot\|_N$. Esto se sostiene solamente por la normativa de los espacios.