derivada del tensor de curvatura en el haz de vectores

Question

Dejemos que $E \to M$ sea un haz riemanniano y $D$ una conexión lineal compatible con la métrica. Para cada par de campos vectoriales $X$ y $Y$ en $M$ y cada sección $\xi$ de $E$ la curvatura viene dada por

$$F(X,Y)\xi=D_X D_Y \xi - D_Y D_X \xi - D_{[X,Y]}\xi$$

Esto es en realidad un tensor $F \in \Gamma(T^*M \otimes T^*M \otimes \mathrm{End}E)$ . Me gustaría saber cómo la derivada covariante de $F$ parece. Debe definirse de forma que funcione una especie de "regla del producto". Teniendo en cuenta $F(X,Y) \in \Gamma(\mathrm{End}E)$ dicha fórmula podría ser $$D_XF(Y,Z)\xi=D_X(F(Y,Z)\xi-F(Y,Z)D_X \xi$$ pero ¿qué pasa si considero que $F \in \Gamma(T^*M \otimes T^*M \otimes \mathrm{End}E)$ ? Una conexión en $TM$ debería aparecer.

Estoy tratando de probar la identidad de Bianchi $$D_XF(Y,Z)+D_YF(Z,X)+D_ZF(X,Y)=0$$

Answer 1

Tienes razón en que para definir $DF\in\Gamma(T^*M \otimes T^*M \otimes T^*M \otimes \operatorname{End}(E)),$ necesita una conexión en $TM$ . Una vez que se fija dicha conexión, se obtienen conexiones naturales únicas en cualquier haz construido a partir de $TM$ y $E$ tomando duales y productos tensoriales simplemente imponiendo la regla del producto.

Resulta que la segunda identidad de Bianchi es verdadera para cualquier conexión sin torsión en $TM.$ Debería poder demostrarlo con un cálculo largo pero sencillo: los términos como $D_X D_Y D_Z \xi$ se cancelan todos gracias a la simetrización cíclica, y los términos del corchete de Lie deberían cancelarse todos con los términos que implican la conexión en $TM$ gracias a la suposición de ausencia de torsión.

La forma habitual de pensar en esta identidad sin requerir la elección arbitraria de la conexión es a través de la derivada covariante exterior Si pensamos en $F$ como una 2 forma que toma valores en $\operatorname{End}(E)$ entonces la segunda identidad de Bianchi es exactamente la ecuación $d^\nabla F = 0$ donde $\nabla$ es la conexión natural inducida en $\operatorname{End}(E).$