¿Qué conjuntos son medibles por Lebesgue?

Question

No puedo detectar la falacia en el conjunto de las siguientes afirmaciones en mis notas inconsistentes:

1. Un álgebra sigma es un conjunto de los conjuntos del conjunto generador cerrado bajo las operaciones de conjuntos unión contable, intersección contable, diferencia de conjuntos, complemento relativo.

2. Un conjunto de Borel es un subconjunto de $\mathbb{R}$ construido a partir de intervalos abiertos y cerrados en $\mathbb{R}$ mediante las operaciones de unión e intersección contable.

3. El conjunto de conjuntos medibles de Lebesgue en $\mathbb{R}$ es un álgebra sigma generada a partir de los intervalos abiertos y cerrados en $\mathbb{R}$ .

4. Por las afirmaciones 2 y 3 todo conjunto medible de Lebesgue sobre $\mathbb{R}$ es un conjunto de Borel.

5. Existe un conjunto medible de Lebesgue que no es Borel.

6. Para el 4 y el 5, falsedad.

¿Qué afirmaciones de mis notas no son ciertas y por qué?

Answer 1

El problema es la afirmación (3).

El álgebra de la medida de Lebesgue es, en efecto, una $\sigma$ -pero se genera completando el álgebra de Borel $\sigma$ -con respecto al ideal de conjuntos nulos.

Se puede demostrar que sólo hay $2^{\aleph_0}$ conjuntos de Borel, pero como el conjunto de Cantor es de Borel, y de medida cero, todo subconjunto del conjunto de Cantor es medible. Pero además el conjunto de Cantor tiene cardinalidad $2^{\aleph_0}$ , por lo que tiene $2^{2^{\aleph_0}}$ subconjuntos, todos ellos medibles por Lebesgue, por lo que la mayoría de ellos ni siquiera son conjuntos de Borel.