Proceso que se detiene en una secuencia de tiempos de parada

Question

Consideremos un proceso estocástico $J_t$ en un espacio de probabilidad filtrado, $(\Omega,\{F_t\},P)$ .

Supongamos que estamos interesados en un intervalo de tiempo fijo $[H,K]$ .

¿Qué significa que un proceso estocástico esté "parado en una secuencia de tiempos de parada que se aproxima al tiempo $K$ ?

¿Cómo se puede expresar esto en una definición matemática concisa?

Answer 1

Dejemos que $\tau_k$ sea una secuencia de tiempos de parada (que son variables aleatorias tales que el evento $\{\tau_k = i \}$ es medible en $F_i$ ); la frase que citas parece considerar $J_{\tau_k \wedge n}$ (donde $a \wedge b = \min(a,b))$ y $\tau_k \uparrow K$ a.s.

Como ejemplo, puede considerar $J_k$ sean lanzamientos de moneda i.i.d., y definir $\tau_k = \min \{i \geq k: J_{i-k+1} = J_{i-k+2} = ... = J_{i}\} \wedge K $ .