Problemas con la resolución de problemas de probabilidad (probabilidad condicional)

Question

La pregunta es: una determinada enfermedad hereditaria puede transmitirse de una madre a sus hijos. Dado que la madre tiene la enfermedad, sus hijos la tendrán independientemente con probabilidad ${1\over2}$ . Dado que ella no tiene la enfermedad, sus hijos tampoco la tendrán. Cierta madre, que tiene la probabilidad ${1\over 3}$ de tener la enfermedad, tiene dos hijos.

$(a)$ Encuentra la probabilidad de que ninguno de los dos niños tenga la enfermedad.

$(b)$ ¿El hecho de que el primer hijo tenga la enfermedad es independiente de que el segundo tenga la enfermedad? Explique.

$(c)$ Se descubre que el primer hijo no tiene la enfermedad. Una semana más tarde, se descubre que el segundo hijo tampoco tiene la enfermedad. Dada esta información, halla la probabilidad de que la madre tenga la enfermedad.

Tengo ${25\over 36}$ para un (a) calculando $P(\text{a child has no disease})$ y cuadrarlo porque el problema dijo que la madre al niño es independiente.

Pour $(b)$ ¿es evidente que son independientes porque la pregunta sugiere que la madre al hijo es independiente?

Y tengo un problema con $(c)$ .

¿Cómo puedo resolver estas cuestiones?

Answer 1

Dejemos que $$P(Mother\;has\;disease) = P(M);$$ $$P(elder\;child\;has) = P(C1);$$ $$P(younger\;child\;has) = P (C2)$$

(a) $$P(C1^c, C2^c)$$ $$=P(C1^c, C2^c|M) . P(M) + P(C1^c, C2^c|M) x P(M^c)$$ $$={1\over 2} × {1\over 2} × {1\over 3} + 1 × {2\over 3} = {3\over 4}$$

(b) No, no son independientes. Si el hijo mayor tiene la enfermedad, significa que la madre debe tenerla, ya que sólo puede transmitirse a través de la madre, lo que implica que la probabilidad de que el hijo menor contraiga la enfermedad aumenta.

(c) $$P(M^c|C1^c, C2^c)={P(C1^c, C2^c) . P(M^c)\over P(C1^c, C2^c)}= {\frac{1}{4} . {1\over 3}\over {3\over 4}} = {1\over 9}$$