Limitación de las soluciones para $x'' +cx'+\sin(x) = 0$

Question

Me gustaría saber cuándo se van a dar las soluciones de:

$x'' +cx'+\sin(x) = 0$

están limitados en $[t_0,+\infty[$ en función de $c$ .

Se trata de un caso de ecuación diferencial de segundo orden que puede interpretarse como un oscilador en el que hay fricción, representado por $c$ .

Las técnicas habituales fallan para este ejemplo ya que $\sin(x)$ no es coercitivo

Answer 1

$$ \dot x \ddot x + c \dot x ^2+\dot x \sin x = 0 \Rightarrow \frac{1}{2}\frac{d}{dt}(\dot x)^2+c(\dot x)^2 = \frac{d}{dt}\cos(x) $$

Ahora $(\dot x)^2 + c \int (\dot x)^2 dt = \cos(x) + C_0$

Por lo tanto, si $c > 0 \Rightarrow (\dot x)^2 \le \cos x + C_0$