norma reducida del álgebra de división de grado 3

Question

Dejemos que $D$ ser un grado $3$ álgebra de división sobre un campo $k$ de char no 2 y 3. Cualquier álgebra de división de este tipo es cíclica. Estoy interesado en conocer los casos en que el mapa de norma reducida $Nrd : D^* \rightarrow k^*$ es suryente. Por supuesto, esto ocurre sobre $\bar k$ y campo finito, etc. Esta es mi pregunta explícita.

Quiero relacionar la subjetividad de la norma reducida con la finitud de $k^*/(k^*)^3$ . A mí me parece que no tener suficientes extensiones de campo de grado 3 es de alguna manera responsable. Agradecería ejemplos, contraejemplos o cualquier referencia en este sentido.

Muchas gracias.

Answer 1

El Teorema de Merkurjev-Suslin dice que un elemento $x \in k^*$ es una norma de $D$ si y sólo si $[D] \cup (x)$ es cero en el grupo de cohomología de Galois $H^3(k, \mathbb{Z}/3)$ . Por lo tanto, para que la norma reducida sea sobreyectiva para cada división $k$ -de grado 3, basta con suponer que $H^3(k, \mathbb{Z}/3) = 0$ .

Por el contrario, si $k$ contiene una tercera raíz primitiva de la unidad, entonces $H^3(k, \mathbb{Z}/3)$ es isomorfo a $K_3(k)/3$ es decir, grado 3 Milnor $K$ -mod 3, y en particular está generado como grupo aditivo por símbolos de la forma $[D] \cup (x)$ . Por lo tanto, en este caso, para que la norma reducida sea sobreyectiva para cada división $k$ -de grado 3, también es necesario que $H^3(k, \mathbb{Z}/3) = 0$ .