Me confundió la prueba de Boothby de que un Manifold tenía una cubierta contable de conjuntos compactos. En su prueba dice que como $M$ tiene una base contable de conjuntos abiertos, podemos suponer que $M$ tiene una base contable de conjuntos abiertos relativamente compactos $\{V_i\}$ . No veo por qué esto es cierto. No sé cómo demostrarlo. He tratado de poner contraejemplos, pero obviamente he fracasado (ya que la afirmación es cierta). Sé que podría demostrarlo, si pudiera mostrar que para cada $(U,\phi)$ un gráfico de coordenadas existía un elemento base $B\subseteq U$ pero, ¿podemos demostrarlo? ¿Alguna pista o ayuda para demostrarlo?
He mirado algunas de las preguntas similares a mi título, pero no las he entendido. Por ejemplo, aquí
¿Cualquier colector puede ser "cubierto" por conjuntos compactos?
La respuesta dice que podemos cubrir el colector por una colección contable de subconjuntos homeomórficos a $\mathbb{R}^n$ . Sé que podemos cubrirlo con tales conjuntos, ya que podemos tomar una carta de coordenadas y encogerla de manera que sea homeomorfa a una bola abierta, que a su vez es homeomorfa a $\mathbb{R}^n$ pero no sé por qué contable.
Podría probar la afirmación si pudiera verificar la declaración dada aquí
https://mathworld.wolfram.com/TopologicalBasis.html
eso:
"Una base topológica es un subconjunto B de un conjunto T en el que todos los demás conjuntos abiertos pueden escribirse como uniones o intersecciones finitas de B. Para los números reales, el conjunto de todos los intervalos abiertos es una base".
Pero no veo por qué eso se deduce de los axiomas que escuchan.
Si alguien pudiera aportar alguna ayuda se lo agradecería mucho, gracias.
