Grupo fundamental de 2 copias de $\mathbb{R}P^2$ pegados a lo largo de una $\mathbb{R}P^1$

Question

Estaba trabajando en las preguntas sobre la computación de los grupos fundamentales de los exámenes de calificación pasados y quería saber si lo estoy haciendo correctamente. La pregunta dice

Recordemos que la incrustación estándar de $\mathbb{R}P^1$ en $\mathbb{R}P^2$ es la imagen del ecuador bajo la cubierta de dos pliegues $\pi : S^2 \to \mathbb{R}P^2$ dado por $\pi (x) = \pi (-x)$ . Sea $X$ sea la unión de dos planos proyectivos pegados a través del mapa de identidad de la incrustación estándar $\mathbb{R}P^1$ s. Calcula el grupo fundamental de $X$ .

Mi idea era considerar $\mathbb{R}P^2$ como un hemisferio superior con el círculo límite identificado por el mapa antipodal. Este círculo límite (cuando se envía al cociente) es $\mathbb{R}P^1$ . Ahora, en lugar de pegar después de enviar al cociente, he pensado en pegar antes, de modo que efectivamente se toman dos hemisferios, se pegan a lo largo de los límites y se aplica el mapa antipodal al círculo límite. Ahora, aplicando Seifert-van Kampen, tengo un generador $x$ para un ejemplar y otro generador $y$ para la otra copia, satisfaciendo $x^2 = y^2 = e$ . Para la amalgama, las inclusiones del generador de la intersección en $\mathbb{R}P^2$ son $x^2$ y $y^2$ respectivamente, por lo que la nueva relación es $x^2y^{-2} = e$ que ya es cierto. Así que obtenemos $\pi _1 (X) = \langle x, y | x^2 = y^2 = e \rangle$ que es sólo $\mathbb{Z}_2 * \mathbb{Z}_2$

¿Es esto correcto? Porque este es también el grupo fundamental de $\mathbb{R}P^2 \vee \mathbb{R}P^2$ Así que estoy un poco inseguro.

Answer 1

No del todo. Al pegar, hay que tener en cuenta que el círculo límite ha sido cotizado por el mapa antipodal. Esto significa que la intersección de las dos copias de $\mathbb{R}P^2$ es el círculo límite mod la identificación antipodal, no el propio círculo límite. En particular, el generador del grupo fundamental de la intersección corresponde sólo a $x$ y $y$ no $x^2$ y $y^2$ , ya que después de cotejar por el mapa antipodal sólo hay que rodear el círculo por la mitad para obtener un bucle. Así que la amalgama termina identificando $x$ y $y$ en $\pi_1(X)$ , por lo que se obtiene sólo $\mathbb{Z}_2$ .