¿Ejemplo de campo con un elemento?

Question

$$\frac{1}{\mu(B)}\int_B \vert x \vert d\mu(x) = \frac{1}{p+1}$$

Esta fórmula es válida para la bola unitaria en $\mathbb{Q_p}$ . Esta fórmula también es válida para $\mathbb{R}$ cuando $p=1$ . ¿Es de esperar que $$\mathrm{Frac}(W_{1^{\infty}} (\mathbb{F_1}))=\mathbb{R}?$$ ¿Qué criterios (matemáticos) utiliza la gente para descartar los fenómenos de campo con un solo elemento? ¿Qué hace que las fórmulas de recuento de puntos sean mejores (o peores)?

Answer 1

Es cierto que si $f(T)\in \mathbb Z[T]$ entonces,
$$ \frac{1}{\mu_p(B)}\int_{\mathbb Z_p} f(\vert x \vert_p) d\mu_p(x) \to \frac{1}{\vert B \vert}\int_{B}f(\vert x \vert)dx \mbox{ as } p\to 1.$$ En general, no es cierto que $$ \frac{1}{\mu_p(B)}\int_{\mathbb Z_p} \vert f( x )\vert_p d\mu_p(x) \to \frac{1}{\vert B \vert}\int_{B}\vert f( x )\vert dx \mbox{ as } p\to 1.$$

En $f(x) = x^2-1$ w $$\int_{\mathbb Z_p} \vert x^2-1 \vert_p d\mu(x) = \frac{1+p(p-2)}{p}+ \frac{1}{(p+1)p} \to 1/2 \mbox{ as } p \to 1 $$ a $$\frac{1}{2}\int_{-1}^1 \vert x^2-1\vert dx = 2/3.$$ http://imgur.com/a/m6KYA

Un par de observaciones:

1. También debería haber escrito $\mathbb Q_1 = \mathbb{R}$ en lugar de esa terrible notación $\mathrm{Frac}(W_{1^{\infty}}(\mathbb{F}_1))$ .

2. La pregunta, tal y como está planteada, es un poco estúpida, ya que si alguien tuviera un procedimiento para "gobernar nuestros fenómenos" no sólo probablemente tendría en mente una categoría, sino que sería capaz de calcular con ella. Creo que la respuesta correcta es $\mathbb F_1$ la numerología se justifica cuando se puede categorizar''. Esto es una especie de versión débil de la afirmación "una conjetura es verdadera cuando se puede demostrar". Supongo que una pregunta vaga merece una respuesta vaga.

La primera parte de la pregunta parece referirse a la geometría de Arakelov y a la sustitución del lugar en el infinito por el lugar 1. Parece que la respuesta es no. Otra mala pregunta sería pedir más ejemplos en los que sí tenga sentido.

La última parte de la pregunta original puede precisarse:

-¿Existen ejemplos de fórmulas para $|X(\mathbb F_q)|$ tal que $X$ es definible en geometrías algebraicas monoidales o en la de Borger $\Lambda$ -categorizaciones en anillos de esquemas sobre $\mathbb F_1$ tal que las fórmulas de recuento de puntos de la categoría no coincidan con $|X(\mathbb F_q)|$ como $q\to 1$ ? (si conoce otra categorización que justifique $GL_n(\mathbb{F}_1)=S_n$ esta pregunta también se aplica allí (¿Tal vez la categoría de Durov?).