Qué enunciados son equivalentes para el postulado paralelo?

Question

Me gustaría tener una larga-ish lista de instrucciones equivalente al postulado paralelo.

Si un segmento de línea que se cruza de dos líneas rectas que forman dos ángulos interiores del mismo lado que la suma sea menor que dos ángulos rectos, entonces las dos líneas, si se extiende indefinidamente, se encuentran en ese lado en el que la suma de los ángulos a menos de dos ángulos rectos.

https://en.wikipedia.org/wiki/Parallel_postulate da 14:

Heath "de Euclides, los trece libros de los elementos de" Dover edición menciona algunos de ellos, pero also4 otros.

Mi pregunta principal es:

¿Hay alguna más?

Y relacionados: ¿hay alguna publicación que da a los (muchos) más de ellos?

Si usted sabe más de ellos, agregarlos a la comunidad wiki respuesta a continuación, si es posible dar referrences de donde vienen.

(para obtener una lista más larga :) )

Para esta pregunta, no asuma que todos los demás axiomas de neutro o de la geometría absoluta incluyendo la continuidad https://en.wikipedia.org/wiki/Absolute_geometry (para aquellos que quieren ser exigente).

Answer 1

Aquí la lista organizada por el sujeto principal.

Agregar más si saben algo, pero añade la referencia a de donde viene.

Si una proposición cae bajo más de 2 sujetos usted puede agregarlos en los dos. Como el triángulo 5 ( Cada triángulo puede ser circunscrito ) y el círculo 1 ( Dados tres de sus puntos, no en una línea recta, existe un círculo a través de ellos).

Líneas:

Euclides: Si un segmento de línea que se cruza de dos líneas rectas que forman dos ángulos interiores del mismo lado que la suma sea menor que dos ángulos rectos, entonces las dos líneas, si se extiende indefinidamente, se encuentran en ese lado en el que la suma de los ángulos a menos de dos ángulos rectos. [1]

1. Hay una línea que puede ser trazada paralela a otra dada a través de un punto externo. (El axioma de Playfair)[1,6]

2. Existe un par de líneas rectas que están en constante distancia uno de otro.[1]

3. Dos líneas que son paralelas a la misma línea también son paralelos el uno al otro.[1,6]

4. Si una línea se cruza con una de las dos líneas paralelas, ambos de los cuales son coplanares con el original de la línea, a continuación, también se cruza con el otro. (Proclus' axioma) [1,6]

5. si dos rectas son paralelas, son figuras opuesto (o el reflejo de una a la otra, con respecto a la media de puntos de todas sus transversal argumentos.(Veronese) [2]

6. Dos rectas paralelas, interceptar, en cada transversal que pasa a través del punto medio de un segmento incluido entre ellos, otro segmento el punto medio de la cual es el centro de la primera (Ingami) [2]

7. Dos líneas rectas que se intersecan entre sí no pueden ser paralelas a una tercera línea. (no 7 en [3] )

8. Si dos rectas son paralelas , entonces la alternativa de los ángulos internos cortadas por una transversal son congruentes (conversar alternativo ángulo interno teorema). [4]

9. Si t es una transversal a$l$$ l \parallel m $$ t \bot l $$t \bot m $. [4,6]

10. si $ k \parallel l $ , $ m \bot k $ y $ m \bot l $ entonces $ m=n $ o $ m \parallel n.$ [4]

11. Cualquiera de las dos líneas paralelas tienen dos líneas perpendiculares. [5]

12. Cualquiera de las tres líneas distintas tienen en común un transversales. [5]

13. No hay tres líneas que dos de ellos están en el mismo lado de la tercera. [5]

14. Dos cualquiera de las líneas paralelas tienen una perpendicular común. [5]

15. Dado $r,s$ líneas, si $r$ es paralelo a$s$, $r$ es equidistante de a $s$.[5]

16. Dada una línea de $r$, el conjunto de los puntos que están en el mismo lado de la $r$ y que equidistan de a $r$, es una línea. [5]

17. Dada las líneas de $r,s,u,v$ si $r$ es paralelo a $s$, $u$ es perpendicular a $r$ $v$ es perpendicular a $s$, $u$ $v$ son paralelas. [5]

18. Dada las líneas de $r,s,u,v$, si $r \perp s$, $s \perp u$ y $u \perp v$, $r$ recortes $s$. [5]

19. Si $\overleftrightarrow{AB} \parallel \overleftrightarrow{CD}$ $\overleftrightarrow{BC}$ es transversal a ambos, de tal modo que de $A$ $D$ están en el mismo lado de la $\overleftrightarrow{BC}$,$m(\measuredangle ABC) + m(\measuredangle DCB) = 180°$. [5]

Triángulos:

1. La suma de los ángulos de cada triángulo es de 180° (triángulo postulado).[1]

2. Existe un triángulo cuyos ángulos suman 180°.[1]

3. La suma de los ángulos es el mismo para cada triángulo.[1]

4. Existe un par de similares, pero no congruentes los triángulos.[1]

5. Cada triángulo puede ser circunscrito.[1]

6. En un ángulo recto de un triángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (el de Pitágoras, Teorema).[1]

7. No existe un límite superior para el área de un triángulo. (Wallis axioma)[1]

8. Dado un triángulo $\Delta ABC$ si $(AC)^2 = (AB)^2 + (BC)^2$, $\angle B$ es un ángulo recto. (recíproco del Teorema de Pitágoras) [5]

9. Dado un triángulo $\Delta ABC$, $\Delta DEF$ tal que $A \in \overline{DE}$, $B \in \overline{EF}$ y $C \in \overline{FD}$. [5]

10. Dado un triángulo $\Delta ABC$ si $D$ $E$ son, respectivamente, la media de puntos de $\overline{AB}$$\overline{AC}$,$DE = \frac{1}{2}BC$. [5]

11. (Thales) Dado un triángulo $\Delta ABC$, $B$ en el círculo de diámetro $\overline{AC}$, $\angle ABC$ es un ángulo recto. [5]

12. Las mediatrices de los lados de un triángulo son concurrentes líneas. [5]

Rectángulos:

1. Existe un cuadrilátero tal que la suma de sus ángulos es 360°. (respuesta Ivo Terek a continuación)

2. Si los tres ángulos de un cuadrilátero son ángulos rectos, entonces el cuarto ángulo también es un ángulo recto.[1]

3. Existe un cuadrilátero en el que todos los ángulos son rectos.[1]

4. La cumbre de los ángulos del cuadrilátero de Saccheri son de 90°. [1]

5. Si en un cuadrilátero 3 ángulos son ángulos rectos, el cuarto es un ángulo recto también.[2]

Círculos:

1. Dados tres puntos no en una línea recta, existe un círculo a través de ellos. (Legendre, Pu Er)[2]

2. Una curva de constante distinto de cero de la curvatura de un círculo.

3. Una curva de constante distinto de cero curvatura ha finito medida.

4. Existen círculos de forma arbitraria baja curvatura.

5. El área de un círculo que crece en la mayoría de los exponencialmente en su radio.

Otros:

1. A través de cualquier punto dentro de un ángulo de menos de 60° una línea recta siempre puede ser dibujado que satisfacer ambos lados del ángulo. (Legendre)[2]

2. Dado un ángulo $\angle ABC$ $D$ en su interior, cada línea que pasa por $D$ recortes $\overrightarrow{BA}$ o $\overrightarrow{BC}$. [5]

3. Si $A,B$ $C$ son los puntos de un círculo con el centro $D$ tal que $B$ $D$ están en el mismo lado de la $\overleftrightarrow{AC}$,$m(\measuredangle ABC) = \frac{1}{2}m(\measuredangle ADC)$. [5]

4. Dado un ángulo agudo $\angle ABC$ y $D \in \overrightarrow{BA}$, $D \neq B$, si $t$ contiene $D$ y es perpendicular a $\overleftrightarrow{AB}$, $t$ recortes $\overrightarrow{BC}$. [5]

Referencias:

[1]: wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Parallel_postulate

[2]: Heath "de Euclides, Los Trece Libros de Los Elementos de la" edición de Dover

[3]: cortar el nudo http://www.cut-the-knot.org/triangle/pythpar/Fifth.shtml

[4]: Greenberg "Euclidiana y No Euclidiana geometrías" 3ª edición, 1994

[5]: el Profesor Sergio Alves' notas de Geometría No-Euclidiana, de la Universidad de São Paulo (el original de notas (en portugués) en tres imágenes: aquí, aquí y aquí)

[6]: El equipo comprueba pruebas de la equivalencia entre 10 afirmaciones: http://geocoq.github.io/GeoCoq/html/Euclid.html y el papel que contiene las pruebas rigurosas en inglés : https://hal.inria.fr/hal-01178236

[7]: Martin, Los fundamentos de la geometría y de la no euclidiana del plano.

Answer 2

Un par más:

• La suma de los ángulos en cada cuadrilátero es $360^\circ $.

• Existe un cuadrilátero tal que la suma de sus ángulos es $360^\circ $.

• Si dos rectas paralelas son cortadas por una línea transversal, entonces los ángulos alternos son congruentes.

• Dada las líneas de $r,s,t$ si $r$ es paralelo a $s$ $t$ recortes $r$, $t$ recortes $s$.

• Dada las líneas de $r,s,t$ si $r$ es paralelo a $s$ $s$ es perpendicular a $t$, $t$ es perpendicular a $s$.

• Dada las líneas de $r,s,u,v$ si $r$ es paralelo a $s$, $u$ es perpendicular a $r$ $v$ es perpendicular a $s$, $u$ $v$ son paralelas.

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Su $13$ es directamente equivalente a decir que retangles existen. Recuerde que un cuadrilátero de Saccheri ${\bf S}ABCD$ es tal que $\overline{AB} \cong \overline{CD}$$m(\measuredangle A) = m (\measuredangle D) = 90^\circ$. Se puede demostrar también que $\overline{AD} \parallel \overline{BC}$$\measuredangle B \cong \measuredangle C$, entre otras cosas. Lambert cuadrilátero es uno que tiene tres ángulos rectos.

Le sugiero que busque a su alrededor neutral de la geometría, que consiste en os resultados que la independencia de pan del quinto postulado. Un poco de geometría hiperbólica puede ser útil también, así que usted puede detectar donde la unicidad de la paralela.

Acerca de las equivalencias que el uso de la noción de ángulo, en neutro, la geometría que se expresa con el uso de la noción de defecto de un triángulo o un cuadrilátero convexo (creo "defecto" es el término que se utiliza, ya que el inglés no es mi idioma nativo y no he visto ningún material en inglés) El defecto de $\Delta ABC$ $ABCD$ son, por definición,: $$\delta (\Delta ABC) = 180 - (m(\measuredangle A) + m (\measuredangle B) + m (\measuredangle C))$$ and $$ \delta ( ABCD) = 180 - (m(\measuredangle A) + m (\measuredangle B) + m (\measuredangle C) + m (\measuredangle D))$$

Defecto tiene un par de propiedades aditivas, y sorta desempeña el papel de "área" en la geometría no Euclidiana. Así de esta manera, se tendría:

• 2. Para cada triángulo $\Delta$,$\delta (\Delta) = 0 $.

• 3. Existe un triángulo $\Delta$ tal que $\delta(\Delta) = 0$.

• 4. Dado que cualquiera de los dos triángulos $\Delta_1$$\Delta_2$,$\delta (\Delta_1) = \delta (\Delta_2)$.

Voy a volver y añadir más equivalencias aquí, espero que pronto.

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EDIT.: Más de equivalencias:

• Si $\overleftrightarrow{AB} // \overleftrightarrow{CD}$ $\overleftrightarrow{BC}$ es transversal a ambos, de tal modo que de $A$ $D$ están en el mismo lado de la $\overleftrightarrow{BC}$,$m(\measuredangle ABC) + m(\measuredangle DCB) = 180º$.

• Si $\overleftrightarrow{AB} // \overleftrightarrow{CD}$ $\overleftrightarrow{BC}$ es transversal a ambos, de tal modo que de $A$ $D$ están en lados opuestos de $\overleftrightarrow{BC}$,$\measuredangle ABC \cong \measuredangle DCB$.

• Las mediatrices de los lados de un triángulo son concurrentes líneas.

• Tres no-puntos colineales, existe un círculo que contiene.

• Existe un único punto equidistante de tres no-colineales puntos dados.

• Dado un ángulo agudo $\angle ABC$ y $D \in \overrightarrow{BA}$, $D \neq B$, si $t$ contiene $D$ y es perpendicular a $\overleftrightarrow{AB}$, $t$ recortes $\overrightarrow{BC}$.

• (Legendre) Para cada ángulo agudo $\angle ABC$, e $D \in \mathrm{int}(\angle ABC)$, existe una línea que pasa a través de $D$ que los recortes tanto en $\overrightarrow{BA}$ $\overrightarrow{BC}$ en puntos distintos de $B$.

• (Cuentos) Dado un triángulo $\Delta ABC$, $B$ en el círculo de diámetro $\overline{AC}$, $\angle ABC$ es un ángulo recto.

• Si $A,B$ $C$ son los puntos de un círculo con el centro $D$ tal que $B$ $D$ están en el mismo lado de la $\overleftrightarrow{AC}$,$m(\measuredangle ABC) = \frac{1}{2}m(\measuredangle ADC)$.

• Si $\angle ABC$ es un ángulo recto, entonces $B$ es en el círculo de diámetro $\overline{AC}$.

• Las mediatrices de los catheti de un triángulo rectángulo son rectas concurrentes.

• Dada las líneas de $r,s,u,v$, si $r \perp s$, $s \perp u$ y $u \perp v$, $r$ recortes $s$.

• Existe un ángulo agudo $\angle ABC$ tales que cada línea de texto que contiene $D \in \overrightarrow{BA}$, $D \neq B$, y es perpendicular a $\overleftrightarrow{AB}$ también recortes $\overrightarrow{BC}$.

• Existe un ángulo agudo tal que para cada punto en su interior, pasa una línea que corta a ambos lados del ángulo en los puntos distintos de su vértice.

• Dado $r,s$ líneas, si $r$ es paralelo a$s$, $r$ es equidistante de a $s$.

• Dada una línea de $r$, el conjunto de los puntos que están en el mismo lado de la $r$ y que equidistan de a $r$, es una línea.

• Existe dos líneas distintas que son equidistantes.

• (Wallis) Dado un triángulo $\Delta ABC$ y un segmento de línea $DE$, existe un punto de $F$, $D,E$ $F$ no colineales tal que $\Delta DEF \cong \Delta ABC$.

• Existe dos triángulos que son semejantes, pero no congruentes.

• No hay ninguna medida absoluta del sistema.

• Cualquiera de las dos líneas paralelas tienen dos líneas perpendiculares.

• Las diagonales de un cuadrilátero de Saccheri se cruzan y sus medios puntos.

• Cualquiera de las tres líneas distintas tienen en común un transversales.

• No hay tres líneas que dos de ellos están en el mismo lado de la tercera.

• Dado un triángulo $\Delta ABC$ si $D$ $E$ son, respectivamente, la media de puntos de $\overline{AB}$$\overline{AC}$,$DE = \frac{1}{2}BC$.

• Dos cualquiera de las líneas paralelas tienen una perpendicular común.

• Dado un triángulo $\Delta ABC$, $\Delta DEF$ tal que $A \in \overline{DE}$, $B \in \overline{EF}$ y $C \in \overline{FD}$.

• Dado un ángulo $\angle ABC$ $D$ en su interior, cada línea que pasa por $D$ recortes $\overrightarrow{BA}$ o $\overrightarrow{BC}$.

• El Teorema De Pitágoras.

• Dado un triángulo $\Delta ABC$ si $(AC)² = (AB)² + (BC)²$, $\angle B$ es un ángulo recto.

• Existe un triángulo tal que su área es mayor que cualquier valor que se le da.

Eso es todo lo que tengo ahora.

EDIT: La referencia original (en portugués) en tres imágenes: aquí, aquí y aquí.

Answer 3

La noción de equivalencia es relativo a la teoría y a la lógica. Es importante tener en cuenta que algunas de las equivalencias citadas arriba no son correctos si no suponga axioma de Arquímedes o la lógica clásica.

Por ejemplo, en Dehn semi-plano euclidiano, la suma de los ángulos de cualquier triángulo es $\pi$, pero el axioma de parallels falla: https://en.wikipedia.org/wiki/Dehn_plane También, Hartshorne (página 161 de su libro) tiene un contador de ejemplo que muestra que el teorema de Pitágoras no es equivalente al postulado paralelo si no asumimos el axioma de Arquímedes.

Son otras instrucciones equivalentes ?

Szmielew demostrado (asumiendo plena continuidad) que cada afirmación que es falsa en la geometría hiperbólica y correcta en la geometría Euclidiana es equivalente al quinto postulado paralelo

Wanda Szmielew. Elementales de geometría hiperbólica. En P. Suppes L. Henkin y A. Tarski, editores, El sistema axiomático, con especial referencia a la Geometría y la Física, páginas 30-52, Amsterdam, 1959. North-Holland.